Determine as coordenadas do centro da hipérbole abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação da cônica
e pede para determinar as coordenadas do centro da hipérbole.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é um polinómio de segundo grau em
e . - Não há termo misto
. - Devemos encontrar o ponto
que é o centro da hipérbole.
Passo 2
Organizar os termos quadráticos e lineares agrupando por variáveis, deixando o termo constante do outro lado:
Passo 3
Fatorar os coeficientes dos termos quadráticos para preparar a conclusão de quadrados:
Passo 4
Lembrar como completar o quadrado (pequena aula):
- Para transformar
em um quadrado perfeito, usa-se a identidade
Aqui, no caso de
, tem-se
, então
Expliquei passo a passo: metade do coeficiente linear
é
; elevando ao quadrado dá
.
Passo 5
Aplicar o mesmo raciocínio para a variável
:
pois metade de
é
e
.
Passo 6
Substituir as expressões completadas na equação do Passo 3:
Agora desenvolver os termos constantes:
Somar os constantes do lado esquerdo
e passar para o lado direito:
(Se quisermos colocar na forma padrão dividimos por
, mas isso não é necessário para achar o centro.)
Passo 7
Entender por que as expressões completadas indicam o centro (breve explicação didática):
- A forma geral de uma hipérbole deslocada tem fatores do tipo
e , onde é o centro. - Ao completar os quadrados obtivemos os termos
e . - Isso mostra que os deslocamentos horizontais e verticais usados foram
em e em , respectivamente, o que dá as coordenadas do centro.
Passo 8
Verificação alternativa (método rápido usando derivadas parciais — pequena aula):
- Para uma cônica da forma
sem termo misto , o centro é o ponto onde as derivadas parciais do polinômio quadrático se anulam, isto é, a solução do sistema
- No caso, calcular as derivadas:
- Resolver
dá . Resolver dá . Assim confirma-se o mesmo deslocamento encontrado completando os quadrados.