Determine as coordenadas do centro da hipérbole abaixo:
9 x^{2}-16 y^{2}-36 x+64 y=-19

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica
9x^{2}-16y^{2}-36x+64y=-19
e pede para determinar as coordenadas do centro da hipérbole.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é um polinómio de segundo grau em x e y.
  • Não há termo misto xy.
  • Devemos encontrar o ponto (x_0,y_0) que é o centro da hipérbole.

Passo 2

Organizar os termos quadráticos e lineares agrupando por variáveis, deixando o termo constante do outro lado:
9x^{2}-36x \;-\;16y^{2}+64y \;=\; -19.

Passo 3

Fatorar os coeficientes dos termos quadráticos para preparar a conclusão de quadrados:
9\bigl(x^{2}-4x\bigr)\;-\;16\bigl(y^{2}-4y\bigr)\;=\;-19.

Passo 4

Lembrar como completar o quadrado (pequena aula):
  • Para transformar x^{2}+bx em um quadrado perfeito, usa-se a identidade
x^{2}+bx=(x+\tfrac{b}{2})^{2}-\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}.
Aqui, no caso de x^{2}-4x, tem-se b=-4, então
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4.
Expliquei passo a passo: metade do coeficiente linear -4 é -2; elevando ao quadrado dá (-2)^{2}=4.

Passo 5

Aplicar o mesmo raciocínio para a variável y:
y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4,
pois metade de -4 é -2 e (-2)^{2}=4.

Passo 6

Substituir as expressões completadas na equação do Passo 3:
9\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)\;-\;16\bigl((y-2)^{2}-4\bigr)\;=\;-19.
Agora desenvolver os termos constantes:
9(x-2)^{2}-36 \;-\;16(y-2)^{2}+64 \;=\;-19.
Somar os constantes do lado esquerdo -36+64=28 e passar para o lado direito:
9(x-2)^{2}-16(y-2)^{2} \;=\; -19-28 \;=\; -47.
(Se quisermos colocar na forma padrão dividimos por -47, mas isso não é necessário para achar o centro.)

Passo 7

Entender por que as expressões completadas indicam o centro (breve explicação didática):
  • A forma geral de uma hipérbole deslocada tem fatores do tipo (x-h)^{2} e (y-k)^{2}, onde (h,k) é o centro.
  • Ao completar os quadrados obtivemos os termos (x-2)^{2} e (y-2)^{2}.
  • Isso mostra que os deslocamentos horizontais e verticais usados foram 2 em x e 2 em y, respectivamente, o que dá as coordenadas do centro.

Passo 8

Verificação alternativa (método rápido usando derivadas parciais — pequena aula):
  • Para uma cônica da forma Ax^{2}+By^{2}+Dx+Ey+F=0 sem termo misto xy, o centro é o ponto onde as derivadas parciais do polinômio quadrático se anulam, isto é, a solução do sistema
\frac{\partial}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}=0.
  • No caso, calcular as derivadas:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(9x^{2}-36x-16y^{2}+64y\bigr)=18x-36,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(9x^{2}-36x-16y^{2}+64y\bigr)=-32y+64.
  • Resolver 18x-36=0 x=2. Resolver -32y+64=0 y=2. Assim confirma-se o mesmo deslocamento encontrado completando os quadrados.

Resposta

(2,2)