Determine as coordenadas dos focos da elipse da equação 9x^2 + 25y^2 =225

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas dos focos de uma elipse que está descrita pela equação 9x^2 + 25y^2 = 225.
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica ligados às elipses. Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão, o que vai facilitar nossa vida para identificar os parâmetros que determinam os focos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da elipse para a forma padrão. A forma padrão de uma elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde (h, k) é o centro da elipse, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor.
Nossa equação original é 9x^2 + 25y^2 = 225. Vamos dividir todos os termos por 225 para igualar a direita a 1:
9x^2225 + 25y^2225 = 1
Simplificando as frações:
x^225 + y^29 = 1

Passo 3

Agora que a equação está na forma padrão, podemos identificar os valores de a^2 e b^2:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1 Rightarrow a^2 = 25 e b^2 = 9
Então, a = raiz25 = 5 e b = raiz9 = 3.
Como a > b, o eixo maior está no eixo x e os focos estarão ao longo do eixo x.

Passo 4

Para encontrar a distância dos focos em relação ao centro, usamos a fórmula:
c = raiza^2 - b^2
Vamos substituir os valores que encontramos:
c = raiz25 - 9 = raiz16 = 4

Passo 5

Sabendo que o centro da elipse está na origem (0, 0) e que os focos estão ao longo do eixo x, as coordenadas dos focos serão (pm c, 0).
Então, substituindo c = 4:
(pm 4, 0) Rightarrow (4, 0) e (-4, 0)

Resposta

As coordenadas dos focos da elipse são (4, , 0) e (-4, , 0).

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