Determine as coordenadas dos focos da elipse da equação 9x^2 + 25y^2 =225
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas dos focos de uma elipse que está descrita pela equação
.
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica ligados às elipses. Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão, o que vai facilitar nossa vida para identificar os parâmetros que determinam os focos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da elipse para a forma padrão. A forma padrão de uma elipse é:
Onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Nossa equação original é
. Vamos dividir todos os termos por 225 para igualar a direita a 1:
Simplificando as frações:
Passo 3
Agora que a equação está na forma padrão, podemos identificar os valores de
e
:
Então,
e
.
Como
, o eixo maior está no eixo
e os focos estarão ao longo do eixo
.
Passo 4
Para encontrar a distância dos focos em relação ao centro, usamos a fórmula:
Vamos substituir os valores que encontramos:
Passo 5
Sabendo que o centro da elipse está na origem
e que os focos estão ao longo do eixo
, as coordenadas dos focos serão
.
Então, substituindo
:
Resposta
As coordenadas dos focos da elipse são
e
.