Determine as coordenadas de \overrightarrow{P Q} na base canônica de \mathbb{R}^{2}, em que \overrightarrow{P Q} é o vetor com origem P e extremo Q, nos casos abaixo: P(3,7), Q(0,1);
Passo 1
Dados fornecidos:
P(3,7),\qquad Q(0,1).
O que se pede:
Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{P Q} na base canônica de \mathbb{R}^{2}, isto é, encontrar seus componentes horizontais e verticais.
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar): o vetor \overrightarrow{P Q} é o vetor que vai de P até Q. Em coordenadas, se
P=(x_1,y_1)\quad\text{e}\quad Q=(x_2,y_2),
então a regra geral é
\overrightarrow{P Q}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1).
Aqui cada componente tem um significado simples: x_2-x_1 é quanto você se desloca horizontalmente (positivo para a direita, negativo para a esquerda) e y_2-y_1 é quanto você se desloca verticalmente (positivo para cima, negativo para baixo). Isso é tudo o que precisamos para calcular.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos pontos dados: identifique os componentes
x_1=3,\; y_1=7,\; x_2=0,\; y_2=1.
Passo 4
Calcule a componente x:
x\text{-componente}=x_2-x_1=0-3=-3.
Passo 5
Calcule a componente y:
y\text{-componente}=y_2-y_1=1-7=-6.
Passo 6
Escrevendo o vetor na base canônica \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\} com \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1):