Determine a corrente em um fio de raio r=3,5 mm e comprimento l=5,0 m se:
(b) Quando a densidade é dado por Jb=J0(1- rR), onde r é a distância radial e J0= 5,5 times 10^4 Am^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a corrente elétrica em um fio com raio de e comprimento de . A matéria envolvida aqui é eletricidade, mais especificamente a densidade de corrente. Para resolver isso, vamos usar a fórmula que relaciona a densidade de corrente com a corrente total, integrando-a sobre a área da seção transversal do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da densidade de corrente que foi dada:
Jb = J0 (1 - rR)
Aqui, é a densidade de corrente em um ponto a uma distância radial do centro do fio, é a densidade máxima no centro, e é o raio total do fio.

Passo 3

Para encontrar a corrente total I = integralA Jb , dA , precisamos integrar a densidade de corrente sobre toda a área da seção transversal do fio. A área em coordenadas polares fica mais fácil de trabalhar, então vamos usar:
Onde é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 4

Substituindo I = integral0^R J0 (1 - rR) 2pi r , dr na integral, temos:
Aqui, os limites de integração vão de a (o raio do fio).

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
I = 2pi J0 integral0^R (r - r^2R) dr
Agora, separamos a integral em duas partes:
I = 2pi J0 ( integral0^R r , dr - 1R integral0^R r^2 , dr )

Passo 6

Calculando as integrais:
integral0^R r , dr = r^22 |0^R = R^22
integral0^R r^2 , dr = r^33 |0^R = R^33

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de I = 2pi J0 ( R^22 - 1R cdot R^33 ) = 2pi J0 ( R^22 - R^23 ) :
I = 2pi J0 ( 3R^2 - 2R^26 ) = 2pi J0 cdot R^26
I = pi J0 R^23

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores. Primeiro, convertemos o raio de milímetros para metros:
R = 3,5 , mm = 3,5 times 10^-3 , m
Então:
I = pi times 5,5 times 10^4 , Am^2 times (3,5 times 10^-3 , m)^23
I = pi times 5,5 times 10^4 times 12,25 times 10^-63
I = pi times 6,7375 times 10^-13
I approx 2,117 times 10^-13 approx 7,056 times 10^-2 , A
I approx 0,0706 , A

Resposta

A corrente no fio é aproximadamente .

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