Determine a corrente em um fio de raio e comprimento se:
(b) Quando a densidade é dado por , onde r é a distância radial e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a corrente elétrica em um fio com raio de e comprimento de . A matéria envolvida aqui é eletricidade, mais especificamente a densidade de corrente. Para resolver isso, vamos usar a fórmula que relaciona a densidade de corrente com a corrente total, integrando-a sobre a área da seção transversal do fio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da densidade de corrente que foi dada:
Aqui, é a densidade de corrente em um ponto a uma distância radial do centro do fio, é a densidade máxima no centro, e é o raio total do fio.
Passo 3
Para encontrar a corrente total , precisamos integrar a densidade de corrente sobre toda a área da seção transversal do fio. A área em coordenadas polares fica mais fácil de trabalhar, então vamos usar:
Onde é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Aqui, os limites de integração vão de a (o raio do fio).
Passo 5
Vamos simplificar a integral:
Agora, separamos a integral em duas partes:
Passo 6
Calculando as integrais:
integral0^R r^2 , dr = r^33 |0^R = R^33
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de I = 2pi J0 ( R^22 - 1R cdot R^33 ) = 2pi J0 ( R^22 - R^23 ) :
I = 2pi J0 ( 3R^2 - 2R^26 ) = 2pi J0 cdot R^26
I = pi J0 R^23
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores. Primeiro, convertemos o raio de milímetros para metros:
R = 3,5 , mm = 3,5 times 10^-3 , m
Então:
I = pi times 5,5 times 10^4 , Am^2 times (3,5 times 10^-3 , m)^23
I = pi times 5,5 times 10^4 times 12,25 times 10^-63
I = pi times 6,7375 times 10^-13
I approx 2,117 times 10^-13 approx 7,056 times 10^-2 , A