Determine as densidades dos planos (100), para uma estrutura CCC, e (111) para uma estrutura CFC.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem dois pedidos:
  1. achar a densidade atômica planar do plano (100) num cristal cúbico simples (CCC)
  2. achar a densidade atômica planar do plano (111) num cristal cúbico de faces centradas (CFC)
Conteúdo: cristalografia – densidade superficial (número de átomos “por cima” do plano, por área do plano).
O que vamos precisar:
• Definição de densidade planar:
rho = nº efetivo de átomos no planoárea do e<=mento de rede no plano ºáá
• Relações geométricas entre parâmetro de rede e raio atômico em CCC e CFC.
• Contar quantos átomos “pertencem” a cada plano (frações dos átomos nos vértices, faces etc.).

Passo 2

Plano (100) em CCC
  1. Relação a = 2r rho100^rm CCC = 1a^2; : no CCC, o átomo do canto “encaixa” na aresta, então
rho100^rm CCC = 1(2r)^2 = 14r^2,
  1. Elemento de rede no plano (100) é um quadrado de lado , área .
  2. Contagem de átomos no quadrado:
  • 4 cantos, cada átomo de canto pertence a 4 faces idênticas nesse plano contribuição de cada.
  • Total efetivo: átomo.
  1. Densidade planar:
Se preferir em função de :

Passo 3

Plano (111) em CFC
  1. Relação araiz2 = 4r Rightarrow a = 4rraiz2 = 2raiz2,r A111 = 3raiz32,l^2 = 3raiz32,l(araiz2r)^!2 = 3raiz32,a^22 = 3raiz34,a^2 : em CFC, a face diagonal mede rho111^rm CFC = 2A111 = 2tfrac3raiz34,a^2 = 83raiz3,a^2 , e diagonal da face = rho111^rm CFC = 83raiz3,(2raiz2,r)^2 = 83raiz3;8,r^2 = 13raiz3,r^2 . Logo
  1. Elemento de rede no plano (111): melhor pensar no hexágono de lado .
    Área do hexágono:
  1. Contagem de átomos no hexágono:
  • 6 vértices, cada canto contribui com (pois 6 hexágonos se encontram ali) ⇒ total de 1 átomo
  • 1 átomo no centro (proveniente de uma face centrada que “cai” inteiramente no plano) ⇒ total de 1 átomo
  • Soma: átomos.
  1. Densidade planar:
Em função de (substituindo ):

Resposta

• Plano (100) – CCC:
boxedrho100^rm CCC = 1a^2 = 14r^2
• Plano (111) – CFC:
boxedrho111^rm CFC = 83raiz3,a^2 = 13raiz3,r^2

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