Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
y não é um divisor de 2026.
y não é um divisor de 2026.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine se a frase abaixo é uma proposição ou não, e explique o porquê.
A frase dada é:
não é um divisor de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A frase contém a letra
(uma variável), sem indicar nenhum valor nem quantificador. - O número envolvido é
.
Passo 2
Definição importante (explicada com calma): uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido — isto é, é claramente verdadeira ou claramente falsa (não pode ser ambas nem indefinida). Exemplos rápidos:
- A frase
é primo") é uma proposição (é verdadeira). - A frase
é primo") não é proposição enquanto for uma variável sem valor; seu valor de verdade depende de .
Sempre que uma frase tem uma variável livre (como
) e o enunciado não fixa ou restringe
, dizemos que ela é uma sentença aberta ou um predicado: não tem valor de verdade até que se atribua um valor à variável ou se coloque um quantificador.
Passo 3
Escrevendo a frase na notação de predicado: podemos ver a frase como o predicado
onde o símbolo
significa “não divide”. Aqui
é uma variável livre: o valor de verdade de
depende do valor específico de
.
Passo 4
Vamos dar exemplos concretos para ver que o valor de verdade realmente depende de
.
Primeiro, fatoração rápida de
. Observa-se que
Verificando rapidamente que
é primo (não é divisível por nenhum primo
), concluímos que os divisores inteiros positivos de
são
(e os negativos correspondentes, se considerarmos inteiros).
Passo 5
Agora avaliar o predicado em valores concretos de
:
- Para
:
ou seja,
divide
. Logo
é falsa.
- Para
:
então
não divide
. Logo
é verdadeira.
Como há escolhas de
que tornam a frase verdadeira e escolhas que a tornam falsa, o valor de verdade não está fixo sem especificar
.
Passo 6
Conclusão didática e alternativa prática: a frase dada não é uma proposição enquanto permanecer com a variável
livre. Para transformá‑la em proposição seria preciso:
- Atribuir um valor específico a
(por exemplo, "Para , não é divisor de "), ou - Colocar um quantificador que feche a sentença, por exemplo:
-
— uma proposição (verdadeira), ou -
— outra proposição (falsa).
-
Força aí — a ideia principal é identificar variáveis livres: se houver alguma e não for dada, a frase é uma sentença aberta, não uma proposição.
Resposta
A frase "
não é um divisor de
" não é uma proposição (é uma sentença aberta / predicado), porque o seu valor de verdade depende do valor de
.