Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
y não é um divisor de 2026.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine se a frase abaixo é uma proposição ou não, e explique o porquê.
A frase dada é: \,y não é um divisor de \,2026.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A frase contém a letra \,y (uma variável), sem indicar nenhum valor nem quantificador.
  • O número envolvido é \,2026.

Passo 2

Definição importante (explicada com calma): uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido — isto é, é claramente verdadeira ou claramente falsa (não pode ser ambas nem indefinida). Exemplos rápidos:
  • A frase "\,2 é primo") é uma proposição (é verdadeira).
  • A frase "\,x é primo") não é proposição enquanto \,x for uma variável sem valor; seu valor de verdade depende de \,x.
Sempre que uma frase tem uma variável livre (como \,y) e o enunciado não fixa ou restringe \,y, dizemos que ela é uma sentença aberta ou um predicado: não tem valor de verdade até que se atribua um valor à variável ou se coloque um quantificador.

Passo 3

Escrevendo a frase na notação de predicado: podemos ver a frase como o predicado
P(y):\; y \nmid 2026,
onde o símbolo \nmid significa “não divide”. Aqui \,y é uma variável livre: o valor de verdade de P(y) depende do valor específico de \,y.

Passo 4

Vamos dar exemplos concretos para ver que o valor de verdade realmente depende de \,y.
Primeiro, fatoração rápida de \,2026. Observa-se que
2026 = 2 \times 1013.
Verificando rapidamente que \,1013 é primo (não é divisível por nenhum primo \le 31), concluímos que os divisores inteiros positivos de \,2026 são \,1,2,1013,2026 (e os negativos correspondentes, se considerarmos inteiros).

Passo 5

Agora avaliar o predicado em valores concretos de \,y:
  • Para \,y=2:
2026 = 2 \times 1013,
ou seja, \,2 divide \,2026. Logo P(2) é falsa.
  • Para \,y=3:
2026 = 3 \times 675 + 1,
então \,3 não divide \,2026. Logo P(3) é verdadeira.
Como há escolhas de \,y que tornam a frase verdadeira e escolhas que a tornam falsa, o valor de verdade não está fixo sem especificar \,y.

Passo 6

Conclusão didática e alternativa prática: a frase dada não é uma proposição enquanto permanecer com a variável \,y livre. Para transformá‑la em proposição seria preciso:
  • Atribuir um valor específico a \,y (por exemplo, "Para \,y=2, \,y não é divisor de \,2026"), ou
  • Colocar um quantificador que feche a sentença, por exemplo:
    • \exists y\, (y \nmid 2026) — uma proposição (verdadeira), ou
    • \forall y\, (y \nmid 2026) — outra proposição (falsa).
Força aí — a ideia principal é identificar variáveis livres: se houver alguma e não for dada, a frase é uma sentença aberta, não uma proposição.

Resposta

A frase " \,y não é um divisor de \,2026 " não é uma proposição (é uma sentença aberta / predicado), porque o seu valor de verdade depende do valor de \,y.