Determine a derivada direcional da funçalo no ponto dado na direçalo do vetor 
 .
 
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para encontrar a derivada direcional da função 
  no ponto (3, 4) na direção do vetor 
 . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e depois fazer o produto escalar com o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função 
 . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Então, temos:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de 
  em relação a 
 :
Isso porque a função não depende de 
 , então a derivada é zero.
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de 
  em relação a 
 :
Simplificamos a derivada usando a regra da potência.
Passo 5
Então, o gradiente da função 
  fica:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto dado, que é (3, 4).
Passo 6
Substituindo 
  na expressão do gradiente:
Então, o gradiente no ponto (3, 4) é 
 .
Passo 7
Agora, precisamos achar a direção do vetor 
 . Para isso, vamos primeiro transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. A fórmula para o vetor unitário 
  é:
Onde 
  é a norma do vetor 
 , calculada por:
Então, o vetor unitário na direção de 
  é:
Passo 8
Finalmente, a derivada direcional 
  é calculada pelo produto escalar entre o gradiente de 
  no ponto e o vetor unitário 
 :
Resposta
A derivada direcional de 
  no ponto (3, 4) na direção do vetor 
  é 
 .