Determine a derivada da função composta a seguir:
f(x) = ((x - 7) / (x + 2))^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivada! O que a gente tem aqui é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. A função dada é . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente. A regra da cadeia ajuda a derivar funções compostas, e a regra do quociente é útil quando temos uma divisão de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função composta. Podemos pensar na função interna como e a função externa como . Assim, .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que a derivada de em relação a é a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a . Matemáticamente, isso fica:

Passo 4

Vamos calcular . Como , a derivada disso em relação a é:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de . Para isso, usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é:

Passo 6

Aplicando a regra do quociente em :
  • então
  • então
Substituindo na fórmula:

Passo 7

Agora que temos e , vamos multiplicar essas duas derivadas para obter :

Passo 8

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados