Determine a derivada da função composta a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de derivada! O que a gente tem aqui é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. A função dada é
. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente. A regra da cadeia ajuda a derivar funções compostas, e a regra do quociente é útil quando temos uma divisão de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função composta. Podemos pensar na função interna como
e a função externa como
. Assim,
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que a derivada de
em relação a
é a derivada de
em relação a
multiplicada pela derivada de
em relação a
. Matemáticamente, isso fica:
Passo 4
Vamos calcular
. Como
, a derivada disso em relação a
é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
. Para isso, usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos
, a derivada é:
Passo 6
Aplicando a regra do quociente em
:
-
então -
então
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Agora que temos
e
, vamos multiplicar essas duas derivadas para obter
:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada da função
é: