Determine a derivada das funções abaixo, utilize as regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - Observações úteis que vêm do enunciado:
- A função é produto de dois fatores:
e . - Cada fator é um polinômio simples (potências de
com coeficientes constantes).
O que se deve entregar: a expressão de, a derivada de em termos de .
- A função é produto de dois fatores:
Passo 2
Decisão de método (explicada de forma didática e simples).
- Há basicamente duas formas naturais de derivar essa função:
- Expandir o produto e aplicar a regra do poder (power rule) termo a termo — geralmente o mais direto para polinômios.
- Aplicar a regra do produto: se
então .
- Vou usar o método 1 (expandir e derivar) porque é mais simples aqui: multiplica-se polinômios e depois aplica-se a regra do poder várias vezes, sem precisar memorizar passos extras. Ainda assim, vou explicar as regras que vou usar.
Regras que vamos usar (explicadas):
- Regra do produto de potências (ao multiplicar): ao multiplicar
por obtém-se . Exemplo simples: . - Regra do poder (power rule) para derivada: a derivada de
(onde é um número real) é . Aqui é o expoente e a variável. - Regra da constante múltipla: se há uma constante
, então . - Regra da soma: a derivada de soma é soma das derivadas:
.
Passo 3
Expandir o produto para obter um polinômio mais simples de derivar. Multiplica-se
por cada termo de
.
Agora usar a regra de multiplicação de potências (somar expoentes) e a regra da constante múltipla (coeficientes):
Portanto, ao expandir:
Passo 4
Derivar termo a termo usando a regra do poder, a constante múltipla e a soma.
-
Derivada do primeiro termo
: - A constante
permanece (regra da constante múltipla). - Aplicando a regra do poder em
: . - Então
.
- A constante
-
Derivada do segundo termo
: - A constante
permanece. - Aplicando a regra do poder em
: . - Então
.
- A constante
Não somaremos ainda as parcelas (deixo a soma final somente na seção de resposta).
Passo 5
Observação alternativa (curta) — verificação pela regra do produto (opcional, só para ver que dá o mesmo resultado):
- Tomando
e , -
(pela regra do poder), -
(derivando termo a termo: , ).
-
- A regra do produto dá
- Expandindo e simplificando essa expressão (passos que espelham os anteriores) chega-se exatamente às mesmas parcelas
e obtidas antes. Isso confirma que o método escolhido estava correto.