Determine a derivada das funções abaixo, utilize as regras de derivação:
f(x)=x^{3} \cdot\left(2 x^{2}-3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{3}\cdot\left(2x^{2}-3x\right).
  • Observações úteis que vêm do enunciado:
    • A função é produto de dois fatores: x^{3} e \left(2x^{2}-3x\right).
    • Cada fator é um polinômio simples (potências de x com coeficientes constantes).
      O que se deve entregar: a expressão de f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Decisão de método (explicada de forma didática e simples).
  • Há basicamente duas formas naturais de derivar essa função:
    1. Expandir o produto e aplicar a regra do poder (power rule) termo a termo — geralmente o mais direto para polinômios.
    2. Aplicar a regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x) então f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Vou usar o método 1 (expandir e derivar) porque é mais simples aqui: multiplica-se polinômios e depois aplica-se a regra do poder várias vezes, sem precisar memorizar passos extras. Ainda assim, vou explicar as regras que vou usar.
Regras que vamos usar (explicadas):
  • Regra do produto de potências (ao multiplicar): ao multiplicar x^{a} por x^{b} obtém-se x^{a+b}. Exemplo simples: x^{2}\cdot x^{3}=x^{5}.
  • Regra do poder (power rule) para derivada: a derivada de x^{n} (onde n é um número real) é \dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}. Aqui n é o expoente e x a variável.
  • Regra da constante múltipla: se há uma constante c, então \dfrac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot g'(x).
  • Regra da soma: a derivada de soma é soma das derivadas: \dfrac{d}{dx}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=g'(x)+h'(x).

Passo 3

Expandir o produto para obter um polinômio mais simples de derivar. Multiplica-se x^{3} por cada termo de \left(2x^{2}-3x\right).
x^{3}\cdot\left(2x^{2}-3x\right)=x^{3}\cdot 2x^{2}-x^{3}\cdot 3x.
Agora usar a regra de multiplicação de potências (somar expoentes) e a regra da constante múltipla (coeficientes):
x^{3}\cdot 2x^{2}=2\cdot x^{3+2}=2x^{5},
x^{3}\cdot 3x=3\cdot x^{3+1}=3x^{4}.
Portanto, ao expandir:
f(x)=2x^{5}-3x^{4}.

Passo 4

Derivar termo a termo usando a regra do poder, a constante múltipla e a soma.
  • Derivada do primeiro termo 2x^{5}:
    • A constante 2 permanece (regra da constante múltipla).
    • Aplicando a regra do poder em x^{5}: \dfrac{d}{dx}x^{5}=5x^{4}.
    • Então \dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{5}\bigr)=2\cdot 5x^{4}=10x^{4}.
  • Derivada do segundo termo -3x^{4}:
    • A constante -3 permanece.
    • Aplicando a regra do poder em x^{4}: \dfrac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.
    • Então \dfrac{d}{dx}\bigl(-3x^{4}\bigr)=-3\cdot 4x^{3}=-12x^{3}.
Não somaremos ainda as parcelas (deixo a soma final somente na seção de resposta).

Passo 5

Observação alternativa (curta) — verificação pela regra do produto (opcional, só para ver que dá o mesmo resultado):
  • Tomando u(x)=x^{3} e v(x)=2x^{2}-3x,
    • u'(x)=3x^{2} (pela regra do poder),
    • v'(x)=4x-3 (derivando termo a termo: \dfrac{d}{dx}(2x^{2})=4x, \dfrac{d}{dx}(-3x)=-3).
  • A regra do produto dá f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=3x^{2}\bigl(2x^{2}-3x\bigr)+x^{3}\bigl(4x-3\bigr).
  • Expandindo e simplificando essa expressão (passos que espelham os anteriores) chega-se exatamente às mesmas parcelas 10x^{4} e -12x^{3} obtidas antes. Isso confirma que o método escolhido estava correto.

Resposta

f'(x)=10x^{4}-12x^{3}=2x^{3}\left(5x-6\right)