Determine a derivada das funções abaixo, utilize as regras de derivação:
y=3 x^{2}+5

Passo 1

O enunciado dá a função y=3x^{2}+5 e pede para determinar a derivada dessa função.
Informações que temos:
  • A função é a soma de dois termos: 3x^{2} e 5.
  • O número 3 é um coeficiente multiplicando x^{2}.
  • O número 5 é uma constante (não depende de x).
    Pergunta a responder: qual é \dfrac{dy}{dx} (ou y') para y=3x^{2}+5?

Passo 2

O que significa “derivada”? Vou explicar de forma simples e intuitiva. A derivada de uma função em um ponto é a taxa de variação instantânea da função em relação a x — geometricamente, é a inclinação (o declive) da reta tangente ao gráfico naquele ponto. Uma definição formal (usada para fundamentar as regras) é:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • f'(x) é a derivada de f em x;
  • h é um pequeno incremento em x;
  • \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa média de variação; o limite quando h\to0 dá a taxa instantânea.
Não é preciso aplicar sempre essa definição no cálculo (é cansativo); usamos regras de derivação que vêm dessa definição e facilitam muito o trabalho.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas e justificadas rapidamente):
  1. Regra da soma (derivar termo a termo):
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=u'(x)+v'(x).
Isto significa que podemos derivar cada parcela separadamente.
  1. Regra do múltiplo constante:
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot f(x)\bigr)=a\cdot f'(x),
onde a é constante. Ou seja, constantes fatoram para fora da derivada.
  1. Regra da potência (caso importante): para um inteiro n\ge 0,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Justificativa rápida para n=2 (só para ver de onde vem): usando a definição por limite,
\frac{d}{dx}x^{2}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^{2}}{h} =\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Portanto a regra dá \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  1. Derivada de constante:
\frac{d}{dx}c=0,
pois uma constante não varia quando x muda.

Passo 4

Agora aplicamos as regras ao problema passo a passo.
A função é a soma de dois termos, então derivo termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+5\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(5).
Para o primeiro termo, uso a regra do múltiplo constante e a regra da potência:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr).
Já vimos que \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x, portanto
3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=3\cdot(2x)=6x.
Para o segundo termo, que é constante:
\frac{d}{dx}(5)=0.
Somando os resultados:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+5\bigr)=6x+0=6x.

Passo 5

Verificação rápida e dica de prova/exame: a derivada encontrada indica que a inclinação do gráfico em qualquer x é 6x. Por exemplo, no ponto x=2 a inclinação é 6\cdot 2=12. Na prova, basta aplicar as regras mostradas: potência, constante múltipla e constante.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=6x