Determine a derivada das funções abaixo, utilize as regras de derivação:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada dessa função.
Informações que temos:
Informações que temos:
- A função é a soma de dois termos:
e . - O número
é um coeficiente multiplicando . - O número
é uma constante (não depende de ).
Pergunta a responder: qual é(ou ) para ?
Passo 2
O que significa “derivada”? Vou explicar de forma simples e intuitiva. A derivada de uma função em um ponto é a taxa de variação instantânea da função em relação a
— geometricamente, é a inclinação (o declive) da reta tangente ao gráfico naquele ponto. Uma definição formal (usada para fundamentar as regras) é:
Aqui:
-
é a derivada de em ; -
é um pequeno incremento em ; -
é a taxa média de variação; o limite quando dá a taxa instantânea.
Não é preciso aplicar sempre essa definição no cálculo (é cansativo); usamos regras de derivação que vêm dessa definição e facilitam muito o trabalho.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas e justificadas rapidamente):
- Regra da soma (derivar termo a termo):
Isto significa que podemos derivar cada parcela separadamente.
- Regra do múltiplo constante:
onde
é constante. Ou seja, constantes fatoram para fora da derivada.
- Regra da potência (caso importante): para um inteiro
,
Justificativa rápida para
(só para ver de onde vem): usando a definição por limite,
Portanto a regra dá
.
- Derivada de constante:
pois uma constante não varia quando
muda.
Passo 4
Agora aplicamos as regras ao problema passo a passo.
A função é a soma de dois termos, então derivo termo a termo:
Para o primeiro termo, uso a regra do múltiplo constante e a regra da potência:
Já vimos que
, portanto
Para o segundo termo, que é constante:
Somando os resultados:
Passo 5
Verificação rápida e dica de prova/exame: a derivada encontrada indica que a inclinação do gráfico em qualquer
é
. Por exemplo, no ponto
a inclinação é
. Na prova, basta aplicar as regras mostradas: potência, constante múltipla e constante.