Determine a derivada das funções vetoriais: r(t) = e^t cos(t) i + e^t sen(t) j + ln |t| k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a derivada de uma função vetorial. Isso significa que temos uma função que tem várias componentes, cada uma na direção dos eixos x, y e z (ou  , , k). Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas. Basicamente, vamos derivar cada componente da função separadamente.

Passo 2

Vamos começar a derivar cada parte da função vetorial vec(r)(t).
Primeira componente:
Aqui temos um produto de duas funções: e^t e cos(t). Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de u(t) * v(t) é .
Então:
Segunda componente:
Novamente, temos um produto: e^t e . Aplicando a regra do produto:
Terceira componente:
Aqui, temos a derivada de uma função logarítmica. Sabemos que:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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