Determine a derivada das seguintes funções: G(x)=x^2 integral-4^5 x e^-t^2 d t, Resposta: G^prime(x)=2 x integral-4^5 x e^-t^2 d t+5 x^2 e^-25 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função . Aqui, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender como derivar um produto de funções e como derivar uma integral cujo limite superior depende de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função . Ela é o produto de duas funções:
Para derivar , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de u'(x) = 2x . Usando a regra do poder, onde a derivada de é , temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar v'(x) = e^-(5x)^2 cdot ddx(5x) = e^-25x^2 cdot 5 = 5 e^-25x^2 . Aqui, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, especificamente a parte que lida com limites variáveis. A derivada de uma integral com limite superior que é uma função de é a função integranda avaliada no limite vezes a derivada desse limite. Ou seja:

Passo 5

Com as derivadas de G'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = 2x integral-4^5x e^-t^2 , dt + x^2 cdot 5 e^-25x^2 e encontradas, aplicamos a regra do produto para encontrar :

Resposta

G^prime(x) = 2x integral-4^5x e^-t^2 , dt + 5x^2 e^-25x^2

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