Determine as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas: a função está escrita como produto de duas partes,
e
. A variável independente é
. A tarefa é calcular
.
Passo 2
Escolhemos usar a regra do produto porque
é produto de duas funções em
. Vou definir:
A regra do produto diz que, para
,
Explico:
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
. A regra do produto simplesmente soma a derivada da primeira vez a segunda e a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 3
Agora calculo as derivadas das partes básicas usadas acima.
Derivada de
:
(isto é padrão:
.)
Derivada de
:
a derivada de é
. A derivada de
é
— isto é uma fórmula básica:
. Portanto
a derivada de
Passo 4
Substituo
na regra do produto:
Esta é a expressão direta vindo da aplicação da regra do produto.
Passo 5
Vou simplificar o primeiro termo
. Use a definição
e
. Então
Mas
. Logo o primeiro termo fica
Passo 6
Agora simplifico o segundo termo
. Distribuindo:
Como
(desde que
), obtemos
Passo 7
Junto as duas simplificações: a expressão de
vira
Agora uso a identidade trigonométrica fundamental
. Reescrevendo
como
e aplicando a identidade:
Portanto
Passo 8
Resumo final: derivamos usando regra do produto, usamos
e
, fizemos simplificações algébricas e aplicamos a identidade
para obter a forma mais compacta de
. Vai dar tudo certo na prova — respira, revisa esses passos e pratica mais um ou dois exercícios parecidos!