Determine as derivadas das funções abaixo:
h(d)=(1-\operatorname{sec} (d)) \sin (d)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
h(d)=(1-\operatorname{sec}(d))\sin(d).
Informações dadas: a função está escrita como produto de duas partes, (1-\operatorname{sec}(d)) e \sin(d). A variável independente é d. A tarefa é calcular h'(d).

Passo 2

Escolhemos usar a regra do produto porque h(d) é produto de duas funções em d. Vou definir:
u(d)=1-\operatorname{sec}(d),\qquad v(d)=\sin(d).
A regra do produto diz que, para h(d)=u(d)\,v(d),
h'(d)=u'(d)\,v(d)+u(d)\,v'(d).
Explico: u'(d) é a derivada de u em relação a d e v'(d) é a derivada de v em relação a d. A regra do produto simplesmente soma a derivada da primeira vez a segunda e a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Agora calculo as derivadas das partes básicas usadas acima.
Derivada de v(d)=\sin(d):
v'(d)=\cos(d).
(isto é padrão: (\sin x)'=\cos x.)
Derivada de u(d)=1-\operatorname{sec}(d):
a derivada de 1 é 0. A derivada de \operatorname{sec}(d) é \operatorname{sec}(d)\tan(d) — isto é uma fórmula básica: (\operatorname{sec} x)'=\operatorname{sec} x\tan x. Portanto
u'(d)=0-\operatorname{sec}(d)\tan(d)=-\operatorname{sec}(d)\tan(d).

Passo 4

Substituo u',u,v' na regra do produto:
h'(d)=\big(-\operatorname{sec}(d)\tan(d)\big)\sin(d)+\big(1-\operatorname{sec}(d)\big)\cos(d).
Esta é a expressão direta vindo da aplicação da regra do produto.

Passo 5

Vou simplificar o primeiro termo \big(-\operatorname{sec}(d)\tan(d)\big)\sin(d). Use a definição \tan(d)=\dfrac{\sin(d)}{\cos(d)} e \operatorname{sec}(d)=\dfrac{1}{\cos(d)}. Então
-\operatorname{sec}(d)\tan(d)\sin(d)=-\frac{1}{\cos(d)}\cdot\frac{\sin(d)}{\cos(d)}\cdot\sin(d)=-\frac{\sin^2(d)}{\cos^2(d)}.
Mas \dfrac{\sin^2(d)}{\cos^2(d)}=\tan^2(d). Logo o primeiro termo fica
-\operatorname{sec}(d)\tan(d)\sin(d)=-\tan^2(d).

Passo 6

Agora simplifico o segundo termo \big(1-\operatorname{sec}(d)\big)\cos(d). Distribuindo:
(1-\operatorname{sec}(d))\cos(d)=\cos(d)-\operatorname{sec}(d)\cos(d).
Como \operatorname{sec}(d)\cos(d)=\dfrac{1}{\cos(d)}\cdot\cos(d)=1 (desde que \cos(d)\neq0), obtemos
(1-\operatorname{sec}(d))\cos(d)=\cos(d)-1.

Passo 7

Junto as duas simplificações: a expressão de h'(d) vira
h'(d)=-\tan^2(d)+\cos(d)-1.
Agora uso a identidade trigonométrica fundamental \,1+\tan^2(d)=\operatorname{sec}^2(d)\,. Reescrevendo -\tan^2(d)-1 como -(\tan^2(d)+1) e aplicando a identidade:
-\tan^2(d)-1=-(\tan^2(d)+1)=-\operatorname{sec}^2(d).
Portanto
h'(d)=\cos(d)-\operatorname{sec}^2(d).

Passo 8

Resumo final: derivamos usando regra do produto, usamos (\operatorname{sec} x)'=\operatorname{sec} x\tan x e (\sin x)'=\cos x, fizemos simplificações algébricas e aplicamos a identidade \,1+\tan^2(d)=\operatorname{sec}^2(d)\, para obter a forma mais compacta de h'(d). Vai dar tudo certo na prova — respira, revisa esses passos e pratica mais um ou dois exercícios parecidos!

Resposta

\displaystyle h'(d)=\cos(d)-\operatorname{sec}^2(d)