Determine as derivadas parciais até segunda ordem das funções de três variáveis.
Passo 1
O enunciado fornece a função (de três variáveis)
e pede para determinar as derivadas parciais até segunda ordem. Ou seja, precisamos encontrar:
- Todas as derivadas parciais de primeira ordem:
, , . - Todas as derivadas parciais de segunda ordem (puras e mistas):
, , , , , , , , .
Passo 2
Conceito e receita prática (passo-a-passo que funciona na prova).
- Derivada parcial em relação a uma variável significa: diferenciar quanto a essa variável tratando as demais como constantes.
- Regras úteis que vamos usar:
- Regra do poder:
. No caso parcial, por exemplo porque é constante. - Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Constantes multiplicativas saem da derivada:
.
- Regra do poder:
- Em termos práticos: para cada termo do tipo
, produz ; análogos para e .
Exemplo rápido (mini aulinha):
porque
e
são tratados como constantes.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem, termo a termo.
Primeiro termo da função:
. Segundo termo:
.
- Derivada parcial em relação a
:
Somando as duas contribuições:
Passo 4
Continuando com as derivadas de primeira ordem:
- Derivada parcial em relação a
:
Logo:
Passo 5
E a terceira derivada de primeira ordem:
- Derivada parcial em relação a
:
Assim:
Passo 6
Estratégia para as derivadas de segunda ordem.
- Para derivada segunda pura, por exemplo
, diferencie em relação a novamente. - Para derivada segunda mista, por exemplo
, pegue e diferencie em relação a (ou pegue e diferencie em relação a ; para funções regulares ambas as ordens coincidem — é o teorema de Clairaut, que aqui vale porque as funções polinomiais são suaves).
Passo 7
Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem (puras).
-
:
Partimos de.
Logo:
-
:
Partimos de.
Assim:
-
:
Partimos de.
Portanto:
Passo 8
Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem (mistas) e verificação de simetria.
-
(diferenciando em relação a ):
Assim:
-
(diferenciando em relação a ) para conferir:
Resultado igual ao anterior:
-
(diferenciando em relação a ):
Logo:
-
(diferenciando em relação a ) para conferir:
Resultado igual:
-
(diferenciando em relação a ):
Assim:
-
(diferenciando em relação a ) para conferir:
Resultado igual: