Determine as derivadas parciais até segunda ordem das funções de três variáveis.
f(x, y)=5 x^{4} y^{2} z^{3}-5 x y z

Passo 1

O enunciado fornece a função (de três variáveis) f(x,y,z)=5x^{4}y^{2}z^{3}-5xyz
e pede para determinar as derivadas parciais até segunda ordem. Ou seja, precisamos encontrar:
  • Todas as derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial f}{\partial z}.
  • Todas as derivadas parciais de segunda ordem (puras e mistas): \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial z}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z\partial x}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial z}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z\partial y}.

Passo 2

Conceito e receita prática (passo-a-passo que funciona na prova).
  • Derivada parcial em relação a uma variável significa: diferenciar quanto a essa variável tratando as demais como constantes.
  • Regras úteis que vamos usar:
    • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}. No caso parcial, por exemplo \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}y^{2}\bigr)=4x^{3}y^{2} porque y^{2} é constante.
    • Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
    • Constantes multiplicativas saem da derivada: \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot \dfrac{\partial g}{\partial x}.
  • Em termos práticos: para cada termo do tipo C\,x^{a}y^{b}z^{c}, \dfrac{\partial}{\partial x} produz C\cdot a\,x^{a-1}y^{b}z^{c}; análogos para \dfrac{\partial}{\partial y} e \dfrac{\partial}{\partial z}.
Exemplo rápido (mini aulinha): \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{2}z\bigr)=x^{3}\cdot 2y\cdot z=2x^{3}y z porque x^{3} e z são tratados como constantes.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem, termo a termo.
Primeiro termo da função: 5x^{4}y^{2}z^{3}. Segundo termo: -5xyz.
  • Derivada parcial em relação a x: \frac{\partial}{\partial x}\bigl(5x^{4}y^{2}z^{3}\bigr) =5\cdot 4x^{3}y^{2}z^{3}=20x^{3}y^{2}z^{3}.
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-5xyz\bigr) =-5\cdot y z = -5yz.
Somando as duas contribuições:
\frac{\partial f}{\partial x}=20x^{3}y^{2}z^{3}-5yz.

Passo 4

Continuando com as derivadas de primeira ordem:
  • Derivada parcial em relação a y: \frac{\partial}{\partial y}\bigl(5x^{4}y^{2}z^{3}\bigr) =5x^{4}\cdot 2y\cdot z^{3}=10x^{4}y z^{3}.
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-5xyz\bigr) =-5\cdot x z = -5xz.
Logo:
\frac{\partial f}{\partial y}=10x^{4}y z^{3}-5xz.

Passo 5

E a terceira derivada de primeira ordem:
  • Derivada parcial em relação a z: \frac{\partial}{\partial z}\bigl(5x^{4}y^{2}z^{3}\bigr) =5x^{4}y^{2}\cdot 3z^{2}=15x^{4}y^{2}z^{2}.
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-5xyz\bigr) =-5\cdot x y = -5xy.
Assim:
\frac{\partial f}{\partial z}=15x^{4}y^{2}z^{2}-5xy.

Passo 6

Estratégia para as derivadas de segunda ordem.
  • Para derivada segunda pura, por exemplo \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, diferencie \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a x novamente.
  • Para derivada segunda mista, por exemplo \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, pegue \dfrac{\partial f}{\partial x} e diferencie em relação a y (ou pegue \dfrac{\partial f}{\partial y} e diferencie em relação a x; para funções regulares ambas as ordens coincidem — é o teorema de Clairaut, que aqui vale porque as funções polinomiais são suaves).

Passo 7

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem (puras).
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}:
    Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=20x^{3}y^{2}z^{3}-5yz. \frac{\partial}{\partial x}\bigl(20x^{3}y^{2}z^{3}\bigr)=20\cdot 3x^{2}y^{2}z^{3}=60x^{2}y^{2}z^{3}.
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-5yz\bigr)=0
Logo:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=60x^{2}y^{2}z^{3}.
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}:
    Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=10x^{4}y z^{3}-5xz. \frac{\partial}{\partial y}\bigl(10x^{4}y z^{3}\bigr)=10x^{4}\cdot 1\cdot z^{3}=10x^{4}z^{3}.
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-5xz\bigr)=0
Assim:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=10x^{4}z^{3}.
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}:
    Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial z}=15x^{4}y^{2}z^{2}-5xy. \frac{\partial}{\partial z}\bigl(15x^{4}y^{2}z^{2}\bigr)=15x^{4}y^{2}\cdot 2z=30x^{4}y^{2}z.
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-5xy\bigr)=0
Portanto:
\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=30x^{4}y^{2}z.

Passo 8

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem (mistas) e verificação de simetria.
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} (diferenciando \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a y): \frac{\partial}{\partial y}\bigl(20x^{3}y^{2}z^{3}\bigr)=20x^{3}\cdot 2y\cdot z^{3}=40x^{3}y z^{3}.
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-5yz\bigr)=-5z.
Assim:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=40x^{3}y z^{3}-5z.
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} (diferenciando \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a x) para conferir: \frac{\partial}{\partial x}\bigl(10x^{4}y z^{3}\bigr)=10\cdot 4x^{3}y z^{3}=40x^{3}y z^{3}.
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-5xz\bigr)=-5z.
Resultado igual ao anterior:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=40x^{3}y z^{3}-5z.
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial z} (diferenciando \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a z): \frac{\partial}{\partial z}\bigl(20x^{3}y^{2}z^{3}\bigr)=20x^{3}y^{2}\cdot 3z^{2}=60x^{3}y^{2}z^{2}.
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-5yz\bigr)=-5y.
Logo:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial z}=60x^{3}y^{2}z^{2}-5y.
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z\partial x} (diferenciando \dfrac{\partial f}{\partial z} em relação a x) para conferir: \frac{\partial}{\partial x}\bigl(15x^{4}y^{2}z^{2}\bigr)=15\cdot 4x^{3}y^{2}z^{2}=60x^{3}y^{2}z^{2}.
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-5xy\bigr)=-5y.
Resultado igual:
\frac{\partial^{2} f}{\partial z\partial x}=60x^{3}y^{2}z^{2}-5y.
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial z} (diferenciando \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a z): \frac{\partial}{\partial z}\bigl(10x^{4}y z^{3}\bigr)=10x^{4}y\cdot 3z^{2}=30x^{4}y z^{2}.
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-5xz\bigr)=-5x.
Assim:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial z}=30x^{4}y z^{2}-5x.
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z\partial y} (diferenciando \dfrac{\partial f}{\partial z} em relação a y) para conferir: \frac{\partial}{\partial y}\bigl(15x^{4}y^{2}z^{2}\bigr)=15x^{4}\cdot 2y\cdot z^{2}=30x^{4}y z^{2}.
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-5xy\bigr)=-5x.
Resultado igual:
\frac{\partial^{2} f}{\partial z\partial y}=30x^{4}y z^{2}-5x.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=20x^{3}y^{2}z^{3}-5yz\n
\dfrac{\partial f}{\partial y}=10x^{4}y z^{3}-5xz\n
\dfrac{\partial f}{\partial z}=15x^{4}y^{2}z^{2}-5xy\n
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=60x^{2}y^{2}z^{3}\n
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=10x^{4}z^{3}\n
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=30x^{4}y^{2}z\n
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=40x^{3}y z^{3}-5z\n
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=40x^{3}y z^{3}-5z\n
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial z}=60x^{3}y^{2}z^{2}-5y\n
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial z\partial x}=60x^{3}y^{2}z^{2}-5y\n
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial z}=30x^{4}y z^{2}-5x\n
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial z\partial y}=30x^{4}y z^{2}-5x