Determine as derivadas parciais de
ordem das funções indicadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações dadas: a expressão explícita de
em termos de
,
e
. As perguntas explícitas são: calcular
,
e
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de em relação a
, escrita
, é a taxa de variação de
quando só mudamos
e mantemos
e
fixos. Na prática, tratamos
e
como constantes e derivamos a expressão em
normalmente.
A derivada parcial de
Passo 3
Vamos usar a regra da cadeia, que é a ferramenta-chave aqui. Se tivermos uma função composta
, então
No nosso caso podemos identificar
e
A derivada de
(regra da potência) é
A regra da potência diz: a derivada de
em relação a
é
. Aqui
, então
.
Passo 4
Agora calculemos
. Como
e
são tratados como constantes ao derivar em relação a
,
Aqui usei que a derivada de
é
e a derivada de uma constante é
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
Os
cancelam:
Voltando a
,
Passo 6
Pela simetria da função (trocar
por
ou
não muda a forma), as outras derivadas parciais são análogas. Repetimos os mesmos passos com
e
:
Calcule
e
. Aplicando a regra da cadeia obtemos
Passo 7
Verificação alternativa (intuitiva): escrevendo
temos
. Então
Como
(derivada de uma raiz quadrada), temos
o que bate com o resultado anterior. Mesmo raciocínio vale para
.