Determine as derivadas parciais de 1^{a} ordem das funções indicadas abaixo:
w=\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{3 / 2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
w=\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{3/2}.
Informações dadas: a expressão explícita de w em termos de x, y e z. As perguntas explícitas são: calcular \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial y} e \frac{\partial w}{\partial z}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de w em relação a x, escrita \frac{\partial w}{\partial x}, é a taxa de variação de w quando só mudamos x e mantemos y e z fixos. Na prática, tratamos y e z como constantes e derivamos a expressão em x normalmente.

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia, que é a ferramenta-chave aqui. Se tivermos uma função composta w=f(u(x,y,z)), então
\frac{\partial w}{\partial x}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
No nosso caso podemos identificar
u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
e
f(u)=u^{3/2}.
A derivada de f (regra da potência) é
f'(u)=\frac{3}{2}u^{1/2}.
A regra da potência diz: a derivada de u^{n} em relação a u é n u^{n-1}. Aqui n=3/2, então n-1=1/2.

Passo 4

Agora calculemos \frac{\partial u}{\partial x}. Como u=x^{2}+y^{2}+z^{2} e y,z são tratados como constantes ao derivar em relação a x,
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial x}(y^{2})+\frac{\partial}{\partial x}(z^{2})=2x+0+0=2x.
Aqui usei que a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de uma constante é 0.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial x}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{3}{2}u^{1/2}\cdot 2x.
Os 2 cancelam:
\frac{\partial w}{\partial x}=3x\,u^{1/2}.
Voltando a u=x^{2}+y^{2}+z^{2},
\frac{\partial w}{\partial x}=3x\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{1/2}.

Passo 6

Pela simetria da função (trocar x por y ou z não muda a forma), as outras derivadas parciais são análogas. Repetimos os mesmos passos com y e z:
Calcule \frac{\partial u}{\partial y}=2y e \frac{\partial u}{\partial z}=2z. Aplicando a regra da cadeia obtemos
\frac{\partial w}{\partial y}=3y\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{1/2},
\frac{\partial w}{\partial z}=3z\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{1/2}.

Passo 7

Verificação alternativa (intuitiva): escrevendo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} temos w=r^{3}. Então
\frac{\partial w}{\partial x}=3r^{2}\frac{\partial r}{\partial x}.
Como \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r} (derivada de uma raiz quadrada), temos
\frac{\partial w}{\partial x}=3r^{2}\cdot\frac{x}{r}=3x r=3x\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{1/2},
o que bate com o resultado anterior. Mesmo raciocínio vale para y,z.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=3x\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{1/2}\n
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}=3y\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{1/2}\n
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}=3z\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right]^{1/2}

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