Determine as derivadas parciais de
ordem das funções indicadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e a
da função
Informações relevantes:
Domínio onde a função (e as derivadas) fazem sentido:
(pois há divisão por
).
Passo 2
Vamos lembrar o que significa derivada parcial: para calcular
tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
; para
tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
.
Quando temos uma razão de duas funções, usamos a regra do quociente (a mesma da análise univariada, aplicada mantendo a outra variável fixa). Se definirmos
então a regra do quociente diz:
onde
é
,
é
, etc. Vou calcular essas derivadas parciais básicas agora.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
Agora aplicamos a regra do quociente para
:
Simplificando o numerador, fatorando
:
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a regra do quociente para
:
Observe que o segundo termo tem sinal negativo em
, então fica soma. Simplificando o numerador, fatorando
:
Portanto
Passo 6
Verificações rápidas e comentários práticos (úteis na prova):
- As derivadas estão definidas apenas quando
. - Note a simetria:
tem um fator no numerador e tem um fator ; a potência do denominador é em ambos. - Exemplo numérico rápido: se
e ,
Força aí — você já tem a técnica: identificar
e
, calcular
e aplicar a regra do quociente passo a passo.