Determine as derivadas parciais de 1^{a} ordem das funções indicadas abaixo:
z=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de z em relação a x e a y da função
z=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}.
Informações relevantes:
\text{o que queremos: }\frac{\partial z}{\partial x}\quad\text{e}\quad\frac{\partial z}{\partial y}.
Domínio onde a função (e as derivadas) fazem sentido: x^{2}-y^{2}\neq 0 (pois há divisão por (x^{2}-y^{2})).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa derivada parcial: para calcular \frac{\partial z}{\partial x} tratamos y como constante e diferenciamos em relação a x; para \frac{\partial z}{\partial y} tratamos x como constante e diferenciamos em relação a y.
Quando temos uma razão de duas funções, usamos a regra do quociente (a mesma da análise univariada, aplicada mantendo a outra variável fixa). Se definirmos
u(x,y)=x^{2}+y^{2}\quad\text{e}\quad v(x,y)=x^{2}-y^{2},
então a regra do quociente diz:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^{2}} \quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^{2}},
onde u_x é \frac{\partial u}{\partial x}, v_x é \frac{\partial v}{\partial x}, etc. Vou calcular essas derivadas parciais básicas agora.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u e v:
u(x,y)=x^{2}+y^{2}\implies u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x,\quad u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.
v(x,y)=x^{2}-y^{2}\implies v_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2})=2x,\quad v_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2})=-2y.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente para \frac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^{2}} =\frac{(2x)(x^{2}-y^{2}) - (x^{2}+y^{2})(2x)}{(x^{2}-y^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador, fatorando 2x:
\text{numerador}=2x\big[(x^{2}-y^{2})-(x^{2}+y^{2})\big] =2x\big(x^{2}-y^{2}-x^{2}-y^{2}\big) =2x(-2y^{2})=-4xy^{2}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-4xy^{2}}{(x^{2}-y^{2})^{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente para \frac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^{2}} =\frac{(2y)(x^{2}-y^{2}) - (x^{2}+y^{2})(-2y)}{(x^{2}-y^{2})^{2}}.
Observe que o segundo termo tem sinal negativo em v_y, então fica soma. Simplificando o numerador, fatorando 2y:
\text{numerador}=2y\big[(x^{2}-y^{2})+(x^{2}+y^{2})\big] =2y\big(2x^{2}\big)=4x^{2}y.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{4x^{2}y}{(x^{2}-y^{2})^{2}}.

Passo 6

Verificações rápidas e comentários práticos (úteis na prova):
  • As derivadas estão definidas apenas quando x^{2}-y^{2}\neq 0.
  • Note a simetria: \frac{\partial z}{\partial x} tem um fator y^{2} no numerador e \frac{\partial z}{\partial y} tem um fator x^{2}; a potência do denominador é 2 em ambos.
  • Exemplo numérico rápido: se x=2 e y=1,
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{4\cdot 2\cdot 1^{2}}{(4-1)^{2}}=-\frac{8}{9},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{4\cdot 2^{2}\cdot 1}{(4-1)^{2}}=\frac{16}{9}.
Força aí — você já tem a técnica: identificar u e v, calcular u_x,u_y,v_x,v_y e aplicar a regra do quociente passo a passo.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{4x y^{2}}{(x^{2}-y^{2})^{2}}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{4x^{2} y}{(x^{2}-y^{2})^{2}}

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