Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações relevantes dadas:
as variáveis independentes são
e
;
a expressão está definida quando (pois o logaritmo natural exige argumento positivo).
A partir daqui vamos calcular e
.
a expressão está definida quando
A partir daqui vamos calcular
Passo 2
Ferramentas que usaremos (explicadas de forma didática):
Isto significa que, ao derivar
em relação a uma variável, aplicamos a regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa
em relação a
(dando
) e multiplicamos pela derivada da função interna
em relação à variável desejada.
Além disso, se a função interna for composta, por exemplo e
, então:
Além disso, se a função interna for composta, por exemplo
E se
, tratando
como constante ao derivar em
, tem-se
; analogamente
.
Agora aplicamos isso passo a passo.
Agora aplicamos isso passo a passo.
Passo 3
Cálculo de
.
Definimos internamente
de modo que
e
e
.
Aplicando a regra da cadeia:
Agora
Como e ao derivar em
tratamos
como constante, temos
Como
Portanto,
Substituindo em
:
Simplificando o quociente
como
, obtemos
Passo 4
Cálculo de
.
Repetimos o mesmo raciocínio, agora diferenciando em relação a
. Mantemos
e
.
Pela regra da cadeia:
Com
Agora (pois ao derivar
em relação a
tratamos
como constante).
Agora
Então
Substituindo:
e simplificando:
Passo 5
Observações finais e checagem rápida:
- As fórmulas fazem sentido dimensionalmente: trocar
por troca os fatores multiplicativos nas derivadas. - Lembre que estas expressões só são válidas onde
(domínio original da função) — tecnicamente a derivada simbólica existe sempre que , mas exige . - Formas alternativas (equivalentes) das derivadas: