Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
z=\ln [\cos (x y)]

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
z=\ln\big(\cos(xy)\big).
Informações relevantes dadas:
\text{a função é } z(x,y)=\ln\big(\cos(xy)\big);çãé
as variáveis independentes são x e y;
a expressão está definida quando \cos(xy)>0 (pois o logaritmo natural exige argumento positivo).
A partir daqui vamos calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Ferramentas que usaremos (explicadas de forma didática):
\text{Se }Z=\ln(U)\text{ então }\frac{dZ}{dU}=\frac{1}{U}.ã
Isto significa que, ao derivar \ln(U(x,y)) em relação a uma variável, aplicamos a regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa \ln em relação a U (dando 1/U) e multiplicamos pela derivada da função interna U em relação à variável desejada.
Além disso, se a função interna for composta, por exemplo U=\cos(V) e V=xy, então:
\frac{d}{d(\cdot)}\cos(V) = -\sin(V)\cdot\frac{dV}{d(\cdot)}.
E se V=xy, tratando y como constante ao derivar em x, tem-se \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y; analogamente \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x.
Agora aplicamos isso passo a passo.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Definimos internamente
U(x,y)=\cos(xy),\qquad V(x,y)=xy,
de modo que z=\ln(U) e U=\cos(V) e V=xy.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{U}\cdot\frac{\partial U}{\partial x}.
Agora \dfrac{\partial U}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\cos(V)=-\sin(V)\cdot\frac{\partial V}{\partial x}.
Como V=xy e ao derivar em x tratamos y como constante, temos \dfrac{\partial V}{\partial x}=y.
Portanto,
\frac{\partial U}{\partial x}=-\sin(xy)\cdot y.
Substituindo em \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\cos(xy)}\cdot\big(-\sin(xy)\cdot y\big).
Simplificando o quociente -\dfrac{\sin(xy)}{\cos(xy)} como -\tan(xy), obtemos
\boxed{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\,y\,\tan(xy).}

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Repetimos o mesmo raciocínio, agora diferenciando em relação a y. Mantemos U=\cos(V) e V=xy.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{U}\cdot\frac{\partial U}{\partial y}.
Com \dfrac{\partial U}{\partial y}=-\sin(V)\cdot\frac{\partial V}{\partial y}.
Agora \dfrac{\partial V}{\partial y}=x (pois ao derivar xy em relação a y tratamos x como constante).
Então
\frac{\partial U}{\partial y}=-\sin(xy)\cdot x.
Substituindo:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{\cos(xy)}\cdot\big(-\sin(xy)\cdot x\big)
e simplificando:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\,x\,\tan(xy).}

Passo 5

Observações finais e checagem rápida:
  • As fórmulas fazem sentido dimensionalmente: trocar x por y troca os fatores multiplicativos nas derivadas.
  • Lembre que estas expressões só são válidas onde \cos(xy)>0 (domínio original da função) — tecnicamente a derivada simbólica existe sempre que \cos(xy)\neq 0, mas z=\ln(\cos(xy)) exige \cos(xy)>0.
  • Formas alternativas (equivalentes) das derivadas:
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{y\sin(xy)}{\cos(xy)},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{x\sin(xy)}{\cos(xy)}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\,y\,\tan(xy)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\,x\,\tan(xy)

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