Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função no ponto dado.
f(x, y)=x^{2}+x y+y^{2}+2 x-y ;(-1,2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x^{2}+x\,y+y^{2}+2x - y
no ponto (-1,2). O conteúdo aqui é diferenciação de funções de duas variáveis, aplicando as regras de derivada de soma, potência e produto.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x. Tratamos y como constante e usamos:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x,\quad \frac{\partial}{\partial x}(x\,y)=y,\quad \frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0,\quad \frac{\partial}{\partial x}(2x)=2,\quad \frac{\partial}{\partial x}(-y)=0.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x + y + 2.

Passo 3

Agora a derivada parcial de f em relação a y. Tratamos x como constante e usamos:
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(x\,y)=x,\quad \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y,\quad \frac{\partial}{\partial y}(2x)=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(-y)=-1.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x + 2y - 1.

Passo 4

Falta avaliar essas expressões em (x,y)=(-1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(-1,2) =2\cdot(-1) + 2 + 2 =-2 + 2 + 2 =2,
\frac{\partial f}{\partial y}(-1,2) =(-1) + 2\cdot2 - 1 =-1 + 4 - 1 =2.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(-1,2)=2,\quad \frac{\partial f}{\partial y}(-1,2)=2.

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