Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função no ponto dado.
f(x, y, z)=x^{2} y^{2}+z^{2} ;(1,1,2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z)=x^{2}y^{2}+z^{2}
no ponto (1,1,2). Vamos usar a definição de derivada parcial, tratando as outras variáveis como constantes.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, consideramos y e z constantes. Derivando x^{2}y^{2} em relação a x vem
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{2}\bigr) =2x\,y^{2},
e a derivada de z^{2} é zero. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=2x\,y^{2}.
No ponto (1,1,2) isso vale
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1,2)=2\cdot1\cdot1^{2}=2.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x e z como constantes. Derivando x^{2}y^{2} em relação a y
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{2}\bigr) =2y\,x^{2},
e a derivada de z^{2} é zero. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2y\,x^{2},
e no ponto dado
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1,2)=2\cdot1\cdot1^{2}=2.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}, x e y são constantes. Derivando z^{2} em relação a z vem
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}\bigr) =2z,
e o termo x^{2}y^{2} some. Logo
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=2z,
e em (1,1,2) resulta
\frac{\partial f}{\partial z}(1,1,2)=2\cdot2=4.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(1,1,2)=2,\quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,1,2)=2,\quad \frac{\partial f}{\partial z}(1,1,2)=4.

Exercícios relacionados