Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas f_{x y} e f_{y x} são iguais.
f(x, y)=x^{2} y+x y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=x^{2}y + x\,y^{3}.
O conteúdo aqui é diferencial parcial e o teorema de Schwarz (Clairaut), que garante que as derivadas parciais mistas coincidem se forem contínuas. Vamos primeiro calcular f_{x} e f_{y} e, a partir delas, obter f_{xx}, f_{xy}, f_{yx} e f_{yy}.

Passo 2

Para achar f_{x}, tratamos y como constante e derivamos termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2x\,y, \quad \frac{\partial}{\partial x}(x\,y^{3})=y^{3}.
Logo,
f_{x}=2x\,y + y^{3}.

Passo 3

Derivando f_{x} em relação a x para obter f_{xx}:
\frac{\partial}{\partial x}(2x\,y)=2y, \quad \frac{\partial}{\partial x}(y^{3})=0,
portanto
f_{xx}=2y.

Passo 4

Derivando f_{x} em relação a y para obter f_{xy}:
\frac{\partial}{\partial y}(2x\,y)=2x, \quad \frac{\partial}{\partial y}(y^{3})=3y^{2},
logo
f_{xy}=2x + 3y^{2}.

Passo 5

Para f_{y}, tratamos x como constante e derivamos f em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}, \quad \frac{\partial}{\partial y}(x\,y^{3})=3x\,y^{2},
assim
f_{y}=x^{2} + 3x\,y^{2}.

Passo 6

Derivando f_{y} em relação a y para obter f_{yy}:
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0, \quad \frac{\partial}{\partial y}(3x\,y^{2})=6x\,y,
portanto
f_{yy}=6x\,y.

Passo 7

Derivando f_{y} em relação a x para obter f_{yx}:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x, \quad \frac{\partial}{\partial x}(3x\,y^{2})=3y^{2},
logo
f_{yx}=2x + 3y^{2}.

Passo 8

Comparando f_{xy} e f_{yx}, vemos que ambas valem 2x+3y^{2}. Assim f_{xy}=f_{yx}, confirmando o teorema de Schwarz.

Resposta

\,f_{xx}=2y \,f_{xy}=2x+3y^{2} \,f_{yx}=2x+3y^{2} \,f_{yy}=6x\,y
E as derivadas parciais mistas coincidem: \,f_{xy}=f_{yx}=2x+3y^{2}.

Exercícios relacionados