Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas
e
são iguais.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo aqui é diferencial parcial e o teorema de Schwarz (Clairaut), que garante que as derivadas parciais mistas coincidem se forem contínuas. Vamos primeiro calcular
e
e, a partir delas, obter
,
,
e
.
Passo 2
Para achar
, tratamos
como constante e derivamos termo a termo:
Logo,
Passo 3
Derivando
em relação a
para obter
:
portanto
Passo 4
Derivando
em relação a
para obter
:
logo
Passo 5
Para
, tratamos
como constante e derivamos
em relação a
:
assim
Passo 6
Derivando
em relação a
para obter
:
portanto
Passo 7
Derivando
em relação a
para obter
:
logo
Passo 8
Comparando
e
, vemos que ambas valem
. Assim
, confirmando o teorema de Schwarz.
Resposta
E as derivadas parciais mistas coincidem: