Determine as derivadas, simplifique se for possível.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as derivadas (ou seja,
) e simplificar o resultado se possível.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função está escrita como produto de uma fração racional
por um polinômio . - Não há outros dados (como ponto específico), então o objetivo é obter a expressão simbólica de
simplificada.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão antes de derivar — isso costuma deixar as contas bem mais fáceis. Note que
Então podemos reescrever
Agora expandimos o numerador multiplicando
por
. Faço a expansão passo a passo:
Calcule cada parte:
Somando:
Portanto podemos escrever
Passo 3
Para simplificar ainda mais, faço a divisão do polinômio
por
. Uso divisão sintética (método rápido quando o divisor é
; aqui
).
Coeficientes do numerador:
. Procedimento:
- Trago o
para baixo. - Multiplico por
: . Somo com o próximo coeficiente: . - Multiplico
por : . Somo com o próximo coeficiente: . - Multiplico
por : . Somo com o último coeficiente: .
Resultado: quociente com coeficientes
(ou seja,
) e resto
. Assim
Escrevendo de forma mais limpa:
Essa forma (polinômio + fração simples) é ótima para derivar: derivada do polinômio é direta e a fração final é do tipo constante vezes
.
Passo 4
Relembrando as regras de derivação que vou usar (explicadinhas com carinho):
- Regra do poder (power rule): para qualquer expoente real
,
Aqui
é a variável e
é a constante que indica o expoente.
- Derivada de constante: se
é constante, . - Regra da soma/diferença: a derivada de soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas.
- Regra da cadeia (aplicada ao caso simples
): se temos , então
ou seja, derivada de
é
multiplicada por
.
Usarei essas fórmulas para derivar cada termo de
Passo 5
Agora aplico as regras termo a termo.
- Derivada de
:
- Derivada de
:
porque coeficiente constante multiplica
.
- Derivada de
:
- Derivada de
. Reescrevo como . Aplicando regra da cadeia:
Como
, isso fica
Passo 6
Somando todas as derivadas (regra da soma):
Simplificando:
Esse é o resultado já bem simplificado. (Como checagem mental rápida: para
muito grande o termo racional tende a
e
, o que faz sentido porque inicialmente havia um polinômio de grau 2 dominante.)