Determine as derivadas, simplifique se for possível.
y=\left(\frac{x-3}{x+4}\right)\left(x^{2}+2 x+1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\left(\frac{x-3}{x+4}\right)\left(x^{2}+2x+1\right)
e pede para determinar as derivadas (ou seja, y') e simplificar o resultado se possível.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está escrita como produto de uma fração racional \dfrac{x-3}{x+4} por um polinômio x^{2}+2x+1.
  • Não há outros dados (como ponto específico), então o objetivo é obter a expressão simbólica de y' simplificada.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão antes de derivar — isso costuma deixar as contas bem mais fáceis. Note que
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Então podemos reescrever
y=\frac{x-3}{x+4}\,(x+1)^{2}.
Agora expandimos o numerador multiplicando (x-3) por (x+1)^{2}. Faço a expansão passo a passo:
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1,
(x-3)(x^{2}+2x+1)=x\cdot(x^{2}+2x+1)-3\cdot(x^{2}+2x+1).
Calcule cada parte:
x\cdot(x^{2}+2x+1)=x^{3}+2x^{2}+x,
-3\cdot(x^{2}+2x+1)=-3x^{2}-6x-3.
Somando:
x^{3}+2x^{2}+x-3x^{2}-6x-3 = x^{3}-x^{2}-5x-3.
Portanto podemos escrever
y=\frac{x^{3}-x^{2}-5x-3}{x+4}.

Passo 3

Para simplificar ainda mais, faço a divisão do polinômio x^{3}-x^{2}-5x-3 por x+4. Uso divisão sintética (método rápido quando o divisor é x-c; aqui c=-4).
Coeficientes do numerador: 1,\\\ -1,\\\ -5,\\\ -3. Procedimento:
  • Trago o 1 para baixo.
  • Multiplico por -4: -4. Somo com o próximo coeficiente: -1+(-4)=-5.
  • Multiplico -5 por -4: 20. Somo com o próximo coeficiente: -5+20=15.
  • Multiplico 15 por -4: -60. Somo com o último coeficiente: -3+(-60)=-63.
Resultado: quociente com coeficientes 1,\\\ -5,\\\ 15 (ou seja, x^{2}-5x+15) e resto -63. Assim
\frac{x^{3}-x^{2}-5x-3}{x+4}=x^{2}-5x+15+\frac{-63}{x+4}.
Escrevendo de forma mais limpa:
y=x^{2}-5x+15-\frac{63}{x+4}.
Essa forma (polinômio + fração simples) é ótima para derivar: derivada do polinômio é direta e a fração final é do tipo constante vezes (x+4)^{-1}.

Passo 4

Relembrando as regras de derivação que vou usar (explicadinhas com carinho):
  • Regra do poder (power rule): para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é a constante que indica o expoente.
  • Derivada de constante: se c é constante, \dfrac{d}{dx}\text{(c)}=0.
  • Regra da soma/diferença: a derivada de soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas.
  • Regra da cadeia (aplicada ao caso simples (x+4)^{-1}): se temos u(x)=(x+4), então
\frac{d}{dx}\bigl(u^{-1}\bigr)=-1\cdot u^{-2}\cdot u',
ou seja, derivada de (x+4)^{-1} é -1\cdot(x+4)^{-2} multiplicada por u'=\dfrac{d}{dx}(x+4)=1.
Usarei essas fórmulas para derivar cada termo de
y=x^{2}-5x+15-\frac{63}{x+4}.

Passo 5

Agora aplico as regras termo a termo.
  1. Derivada de x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
  1. Derivada de -5x:
\frac{d}{dx}\bigl(-5x\bigr)=-5,
porque coeficiente constante multiplica x.
  1. Derivada de 15:
\frac{d}{dx}(15)=0.
  1. Derivada de -\dfrac{63}{x+4}. Reescrevo como -63(x+4)^{-1}. Aplicando regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(-63(x+4)^{-1}\bigr) = -63\cdot(-1)(x+4)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(x+4).
Como \dfrac{d}{dx}(x+4)=1, isso fica
-63\cdot(-1)(x+4)^{-2}=63(x+4)^{-2}=\frac{63}{(x+4)^{2}}.

Passo 6

Somando todas as derivadas (regra da soma):
y' = 2x + (-5) + 0 + \frac{63}{(x+4)^{2}}.
Simplificando:
y' = 2x -5 + \frac{63}{(x+4)^{2}}.
Esse é o resultado já bem simplificado. (Como checagem mental rápida: para x muito grande o termo racional tende a 0 e y'\approx 2x-5, o que faz sentido porque inicialmente havia um polinômio de grau 2 dominante.)

Resposta

y'=2x-5+\frac{63}{(x+4)^{2}}