Determine as derivadas, simplifique se for possível.
y=\left(3 x^{3}+4 x\right)(x-5)(x+1)

Passo 1

O enunciado dá a função e pede sua derivada:
y=\left(3x^{3}+4x\right)(x-5)(x+1).
Informações relevantes:
  • A função é produto de três fatores: \left(3x^{3}+4x\right), (x-5) e (x+1).
  • Objetivo: encontrar y'=\dfrac{dy}{dx} e simplificar se possível.

Passo 2

Escolha do método (explicação rápida e motivo): aqui o jeito mais direto e simples é primeiro multiplicar os fatores para obter um polinômio e depois derivar termo a termo usando a regra da potência. Justificativa: a regra da potência e a derivação termo a termo são muito simples de aplicar a polinômios e evitam manipulações de soma de muitos produtos (que exigiriam aplicar a regra do produto várias vezes). Se houver interesse, depois dá para checar o resultado usando a regra do produto generalizada.

Passo 3

Multiplicar os dois fatores lineares (x-5)(x+1). Fazendo a multiplicação:
(x-5)(x+1)=x^2+ x -5x -5 = x^2 -4x -5.
Anotação: esse resultado foi obtido diretamente multiplicando os termos dados.

Passo 4

Agora multiplicar \left(3x^{3}+4x\right) pelo quadrático que acabamos de obter. Vamos multiplicar termo a termo para não errar:
Calcular cada produto:
3x^{3}\cdot x^{2}=3x^{5},
3x^{3}\cdot(-4x)=-12x^{4},
3x^{3}\cdot(-5)=-15x^{3},
4x\cdot x^{2}=4x^{3},
4x\cdot(-4x)=-16x^{2},
4x\cdot(-5)=-20x.
Somando todos os termos obtidos:
y=3x^{5}-12x^{4}-15x^{3}+4x^{3}-16x^{2}-20x.
Agrupando os termos semelhantes ( -15x^{3}+4x^{3}=-11x^{3}):
y=3x^{5}-12x^{4}-11x^{3}-16x^{2}-20x.

Passo 5

Regra usada para derivar (aula curta): regra da potência e linearidade.
  • Regra da potência: para qualquer n inteiro não-negativo, \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
  • Para uma constante multiplicativa a, \dfrac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n x^{n-1}.
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas: \dfrac{d}{dx}\bigl(\sum u_i\bigr)=\sum u_i'.
Vamos aplicar isso termo a termo no polinômio que encontramos.

Passo 6

Derivar cada termo de y=3x^{5}-12x^{4}-11x^{3}-16x^{2}-20x:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{5}\bigr)=3\cdot 5 x^{4}=15x^{4},
\frac{d}{dx}\bigl(-12x^{4}\bigr)=-12\cdot 4 x^{3}=-48x^{3},
\frac{d}{dx}\bigl(-11x^{3}\bigr)=-11\cdot 3 x^{2}=-33x^{2},
\frac{d}{dx}\bigl(-16x^{2}\bigr)=-16\cdot 2 x=-32x,
\frac{d}{dx}\bigl(-20x\bigr)=-20.
Somando as derivadas termo a termo obtemos:
y'=15x^{4}-48x^{3}-33x^{2}-32x-20.

Passo 7

Verificação e tentativa de simplificação: os coeficientes 15,48,33,32,20 não têm um divisor comum maior que 1, e não há fator x em todos os termos (o termo constante -20 impede fator comum x). Portanto a expressão está já simplificada em termos de fator comum. Se desejar, pode-se checar que este resultado coincide com o obtido aplicando diretamente a regra do produto para três fatores:
y'=(9x^{2}+4)(x-5)(x+1)+(3x^{3}+4x)(x+1)+(3x^{3}+4x)(x-5),
o que, ao simplificar, resulta na mesma expressão polinomial encontrada acima.

Resposta

y'=15x^{4}-48x^{3}-33x^{2}-32x-20