Determine as derivadas, simplifique se for possível.
Passo 1
O enunciado dá a função e pede sua derivada:
Informações relevantes:
- A função é produto de três fatores:
, e . - Objetivo: encontrar
e simplificar se possível.
Passo 2
Escolha do método (explicação rápida e motivo): aqui o jeito mais direto e simples é primeiro multiplicar os fatores para obter um polinômio e depois derivar termo a termo usando a regra da potência. Justificativa: a regra da potência e a derivação termo a termo são muito simples de aplicar a polinômios e evitam manipulações de soma de muitos produtos (que exigiriam aplicar a regra do produto várias vezes). Se houver interesse, depois dá para checar o resultado usando a regra do produto generalizada.
Passo 3
Multiplicar os dois fatores lineares
. Fazendo a multiplicação:
Anotação: esse resultado foi obtido diretamente multiplicando os termos dados.
Passo 4
Agora multiplicar
pelo quadrático que acabamos de obter. Vamos multiplicar termo a termo para não errar:
Calcular cada produto:
Somando todos os termos obtidos:
Agrupando os termos semelhantes (
):
Passo 5
Regra usada para derivar (aula curta): regra da potência e linearidade.
- Regra da potência: para qualquer
inteiro não-negativo, . - Para uma constante multiplicativa
, . - A derivada de uma soma é a soma das derivadas:
.
Vamos aplicar isso termo a termo no polinômio que encontramos.
Passo 6
Derivar cada termo de
:
Somando as derivadas termo a termo obtemos:
Passo 7
Verificação e tentativa de simplificação: os coeficientes
não têm um divisor comum maior que
, e não há fator
em todos os termos (o termo constante
impede fator comum
). Portanto a expressão está já simplificada em termos de fator comum. Se desejar, pode-se checar que este resultado coincide com o obtido aplicando diretamente a regra do produto para três fatores:
o que, ao simplificar, resulta na mesma expressão polinomial encontrada acima.