Determine a dimensão de \mathbb{C} sobre \mathbb{R} e exiba uma base.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá:
  • Pede-se a dimensão de \mathbb{C} quando visto como espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}.
  • Pede-se também que eu exiba uma base de \mathbb{C} sobre \mathbb{R}.
Informações relevantes que já conhecemos (sem resolver ainda):
  • Todo número complexo pode ser escrito na forma a+bi com a,b\in\mathbb{R}.
  • Precisamos mostrar um conjunto de vetores em \mathbb{C} que seja linearmente independente sobre \mathbb{R} e que gere (espalhe) todo \mathbb{C}. A quantidade de vetores de tal base será a dimensão.

Passo 2

O que é base, dimensão e como vamos testar:
  • Definição prática de base: um conjunto B\subseteq\mathbb{C} é base de \mathbb{C} sobre \mathbb{R} se
    1. os vetores de B geram \mathbb{C} (todo z\in\mathbb{C} é combinação linear com escalares em \mathbb{R} dos vetores de B), e
    2. os vetores de B são linearmente independentes sobre \mathbb{R}.
  • Definição prática de dimensão: a dimensão é o número de vetores de qualquer base (todas as bases têm o mesmo número de elementos).
  • Plano de ataque: vou propor o conjunto \{\,1,i\,\}, provar que ele gera \mathbb{C} e que é linearmente independente sobre \mathbb{R}. Assim será uma base e a dimensão será 2.

Passo 3

Provar que \{\,1,i\,\} gera \mathbb{C}:
  • Tome um z\in\mathbb{C}. Pela forma padrão dos complexos, existe a,b\in\mathbb{R} tais que z=a+bi.
  • Escrevemos z como combinação linear real dos vetores 1 e i: z = a\cdot 1 + b\cdot i.
  • Isto mostra que qualquer z é gerado por \{\,1,i\,\}. Exemplo concreto: 3-2i = 3\cdot 1 + (-2)\cdot i.

Passo 4

Provar que \{\,1,i\,\} é linearmente independente sobre \mathbb{R}:
  • Suponha que existam escalares r,s\in\mathbb{R} tais que r\cdot 1 + s\cdot i = 0,onde 0 é o zero em \mathbb{C}, isto é 0 = 0 + 0i.
  • Então temos a igualdade de complexos r + s i = 0 + 0 i.
  • Igualdade de números complexos implica igualdade das partes real e imaginária. Assim r = 0 \qquad\text{e}\qquad s = 0.
  • Conclusão: a única combinação linear real que dá zero é com r=s=0. Logo \{\,1,i\,\} é linearmente independente sobre \mathbb{R}.

Passo 5

Conclusão e comentários adicionais:
  • Vimos que \{\,1,i\,\} gera \mathbb{C} e é linearmente independente sobre \mathbb{R}. Portanto é uma base de \mathbb{C} como espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
  • Como a base tem exatamente 2 vetores, a dimensão de \mathbb{C} sobre \mathbb{R} é 2: \dim_{\mathbb{R}} \mathbb{C} = 2.
  • Intuição geométrica: a aplicação linear e bijetora \mathbb{C}\to\mathbb{R}^2,\qquad a+bi\mapsto (a,b)mostra que \mathbb{C} é essencialmente o mesmo que o plano \mathbb{R}^2; a base \{1,i\} corresponde à base padrão (1,0),(0,1) de \mathbb{R}^2.
  • Observação prática para prova: memorize que \{1,i\} é a base-canônica; se precisar, prove geração e independência exatamente como fizemos — é rápido e seguro.

Resposta

\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2
Base: \{\,1,i\,\}