Determine a dimensão de
sobre
e exiba uma base.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá:
- Pede-se a dimensão de
quando visto como espaço vetorial sobre o corpo . - Pede-se também que eu exiba uma base de
sobre .
Informações relevantes que já conhecemos (sem resolver ainda):
- Todo número complexo pode ser escrito na forma
com . - Precisamos mostrar um conjunto de vetores em
que seja linearmente independente sobre e que gere (espalhe) todo . A quantidade de vetores de tal base será a dimensão.
Passo 2
O que é base, dimensão e como vamos testar:
- Definição prática de base: um conjunto
é base de sobre se - os vetores de
geram (todo é combinação linear com escalares em dos vetores de ), e - os vetores de
são linearmente independentes sobre .
- os vetores de
- Definição prática de dimensão: a dimensão é o número de vetores de qualquer base (todas as bases têm o mesmo número de elementos).
- Plano de ataque: vou propor o conjunto
, provar que ele gera e que é linearmente independente sobre . Assim será uma base e a dimensão será .
Passo 3
Provar que
gera
:
- Tome um
. Pela forma padrão dos complexos, existe tais que . - Escrevemos
como combinação linear real dos vetores e : - Isto mostra que qualquer
é gerado por . Exemplo concreto: .
Passo 4
Provar que
é linearmente independente sobre
:
- Suponha que existam escalares
tais que onde é o zero em , isto é . - Então temos a igualdade de complexos
- Igualdade de números complexos implica igualdade das partes real e imaginária. Assim
- Conclusão: a única combinação linear real que dá zero é com
. Logo é linearmente independente sobre .
Passo 5
Conclusão e comentários adicionais:
- Vimos que
gera e é linearmente independente sobre . Portanto é uma base de como espaço vetorial sobre . - Como a base tem exatamente
vetores, a dimensão de sobre é : - Intuição geométrica: a aplicação linear e bijetora
mostra que é essencialmente o mesmo que o plano ; a base corresponde à base padrão de . - Observação prática para prova: memorize que
é a base-canônica; se precisar, prove geração e independência exatamente como fizemos — é rápido e seguro.
Resposta
Base: