Determine a distancia da reta para o plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a distância entre uma reta e um plano. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a distância entre um ponto e um plano, além de entender a direção da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta e o plano que nos foram dados:
A reta
é definida por:
Isso significa que podemos escrever a reta em termos de um parâmetro
:
A direção da reta vem dos coeficientes de
, então o vetor direção da reta é
.
O plano
é dado por:
O vetor normal ao plano, que é perpendicular a ele, é
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a reta e o plano são paralelos. Para isso, precisamos ver se o vetor direção da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Se for, significa que a reta é paralela ao plano.
Para isso, calculamos o produto escalar entre
e
:
Como o produto escalar deu zero, isso confirma que a reta é paralela ao plano.
Passo 4
Como a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é constante. Para encontrar essa distância, basta pegar qualquer ponto da reta e calcular a distância desse ponto até o plano.
Vamos escolher
para facilitar. Substituindo na equação da reta:
Então, o ponto escolhido é
.
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da distância entre um ponto
e um plano
:
No nosso caso, o plano é
, então
,
,
, e
. Substituindo o ponto
:
Resposta
A distância da reta para o plano é
unidades.