Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(k)
$(5,-12);

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos para o ponto de coordenadas cartesianas (5,-12) encontrar dois pares de coordenadas polares (r,\theta) com sinais opostos de r. O conteúdo envolve conversão de coordenadas cartesiana para polares, usando
r = \sqrt{x^2+y^2},\quad \theta = \operatorname{atan2}(y,x)\\ (\text{ajuste de quadrante}).

Passo 2

Calcular o raio r como a distância do ponto à origem:
r = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.

Passo 3

Determinar o ângulo \theta. Como x=5>0 e y=-12<0, o ponto está no quarto quadrante. Portanto
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{-12}{5}\bigr) = -\,\arctan\!\bigl(\tfrac{12}{5}\bigr).
Esse valor já se encontra em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},0\bigr), coerente com o quarto quadrante.

Passo 4

O primeiro par de coordenadas polares usa r=13 e o \theta obtido:
(r,\theta) = \bigl(13,\,-\arctan(\tfrac{12}{5})\bigr).

Passo 5

Para achar um segundo par com r de sinal oposto, basta tomar r'=-13 e adicionar \pi ao ângulo:
(r',\theta') = \bigl(-13,\,-\arctan(\tfrac{12}{5})+\pi\bigr) = \bigl(-13,\;\pi - \arctan(\tfrac{12}{5})\bigr).

Resposta

(13,\,-\arctan(\tfrac{12}{5}))
(-13,\;\pi - \arctan(\tfrac{12}{5}))

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