Determine o domínio de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\frac{1}{x^{2}-3x+2}.
Informações dadas:
  • A função é uma função real a partir de x em \mathbb{R} com expressão racional (fração).
  • O que se precisa encontrar é o conjunto de valores de x para os quais f(x) está bem definida (ou seja, a função existe como número real).

Passo 2

Entendendo o que impede um x de pertencer ao domínio: numa expressão racional como f(x)=\dfrac{1}{\text{denominador}}, o único problema é quando o denominador é zero, porque divisão por zero não é definida no conjunto dos números reais. Portanto o domínio é o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} tais que o denominador não seja zero:
x^{2}-3x+2 \neq 0.

Passo 3

Agora vamos achar as raízes do polinômio do denominador para determinar quais valores fazem ele ser zero. Para resolver
x^{2}-3x+2=0
procura-se fatores cujo produto seja 2 (termo constante) e cuja soma seja -3 (coeficiente de x). Os números -1 e -2 funcionam, pois (-1)\cdot(-2)=2 e (-1)+(-2)=-3. Assim o polinômio fatoriza:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).

Passo 4

As raízes vêm de cada fator igualado a zero:
x-1=0 \Rightarrow x=1, \qquad x-2=0 \Rightarrow x=2.
Esses são exatamente os valores que anulam o denominador. Portanto esses x têm que ser excluídos do domínio. Todos os outros reais são permitidos porque para qualquer outro x o denominador é diferente de zero e a fração resulta em um número real. (Exemplo de verificação: para x=0 tem-se f(0)=1/(0-0+2)=1/2, valor bem definido.)

Passo 5

Escrevendo o domínio de formas usuais:
  • Notação com conjunto:
\mathbb{R}\setminus\{1,2\}.
  • Notação em intervalos:
(-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,\infty).

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{1,2\}