Determine o domínio das funções reais de várias variáveis reais abaixo:
h(x, y, z)=1-2 x-y+4 z.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função real de três variáveis dada por \displaystyle h(x,y,z)=1-2x-y+4z.
As informações fornecidas são: a função é expressa por uma expressão algébrica envolvendo as variáveis \(x), \(y) e \(z) e números reais (constantes) 1, -2 e 4. Não há menção de restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

O domínio de uma função é o conjunto de todos os pontos \( (x,y,z)) para os quais a expressão que define a função está bem definida e faz sentido como número real. Em outras palavras, precisamos verificar se, ao escolher qualquer tripla \( (x,y,z)), a expressão \(1-2x-y+4z) gera um número real sem problemas (como divisão por zero, raiz de número negativo, logaritmo de número não-positivo, etc.).

Passo 3

Analisando a expressão \(1-2x-y+4z): ela é uma combinação linear das variáveis com coeficientes reais, ou seja, é formada por operações elementares que sempre fazem sentido em \mathbb{R}:
  • multiplicação de um real por uma variável ( -2x, 4z) — definida para todo real;
  • soma e subtração de números reais — definidas para todo real;
  • não há denominador, não há raiz de índice par, não há logaritmo, nem qualquer outra operação que restrinja os valores possíveis de \(x,y,z).
Portanto, para qualquer escolha de \(x, y, z) em \mathbb{R} a expressão gera um número real sem problema.

Passo 4

Concluindo: não existem restrições sobre \(x), \(y) ou \(z). Assim, o domínio é todo o espaço de três coordenadas reais, isto é \mathbb{R}^3.
Exemplos de entradas válidas são \( (0,0,0)), \( (1,2,3)), \( (-5,0,0)) — todas são aceitas e resultam em números reais. Comparando, se tivéssemos uma função como \(g(x)=\sqrt{x}) aí sim teríamos a restrição x\ge 0; mas aqui nada disso aparece.

Resposta

\mathbb{R}^3

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