Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica. f(x, y) = 1 / raiz(4 x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa determinar o domínio, a imagem, as curvas de níveis (se for o caso) e fazer o gráfico da função . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de duas variáveis, como encontrar o domínio e a imagem, além de saber o que são curvas de níveis.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os pares para os quais a função está definida. Olhando para a expressão, temos um denominador que é uma raiz quadrada: . Sabemos que o que está dentro da raiz precisa ser maior que zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo e não podemos ter denominador zero. Então, temos:
Isso significa que:
Portanto, o domínio são todos os pares onde está entre e , ou seja, dentro das retas e .

Passo 3

Agora, vamos achar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Observando a função:
Como a raiz quadrada sempre dá um número positivo (já que dentro dela é positivo pelo domínio que encontramos), o denominador é sempre positivo e diferente de zero. Assim, também será sempre positivo. Além disso, quanto mais próximo estiver de zero, maior será o valor de . Então, a imagem é:

Passo 4

Vamos agora determinar as curvas de nível. As curvas de nível são curvas onde a função assume um valor constante, digamos . Então, temos:
Resolvendo para :
Isso representa uma hipérbole para cada valor de . Cada curva de nível será uma hipérbole diferente dependendo do valor de .

Passo 5

Por fim, vamos fazer o gráfico da função usando o GeoGebra. No GeoGebra, você pode inserir a função para visualizar como ela se comporta no espaço. Como o domínio está restrito dentro das retas e , o gráfico vai existir apenas nessa região. Além disso, por ser uma função que tende ao infinito quando se aproxima de zero, veremos que o gráfico tem uma espécie de “arqueamento” nessas bordas.

Resposta

Então, resumindo:
  • Domínio: Todos os que satisfazem .
  • Imagem: Todos os valores positivos, ou seja, .
  • Curvas de níveis: Hipérboles definidas por para cada constante .
  • Gráfico: Uma superfície definida dentro das retas e , que pode ser visualizada usando o GeoGebra.

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