Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa determinar o domínio, a imagem, as curvas de níveis (se for o caso) e fazer o gráfico da função
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de duas variáveis, como encontrar o domínio e a imagem, além de saber o que são curvas de níveis.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para a expressão, temos um denominador que é uma raiz quadrada:
. Sabemos que o que está dentro da raiz precisa ser maior que zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo e não podemos ter denominador zero. Então, temos:
Isso significa que:
Portanto, o domínio são todos os pares
onde
está entre
e
, ou seja, dentro das retas
e
.
Passo 3
Agora, vamos achar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Observando a função:
Como a raiz quadrada sempre dá um número positivo (já que dentro dela é positivo pelo domínio que encontramos), o denominador é sempre positivo e diferente de zero. Assim,
também será sempre positivo. Além disso, quanto mais próximo
estiver de zero, maior será o valor de
. Então, a imagem é:
Passo 4
Vamos agora determinar as curvas de nível. As curvas de nível são curvas onde a função assume um valor constante, digamos
. Então, temos:
Resolvendo para
:
Isso representa uma hipérbole para cada valor de
. Cada curva de nível será uma hipérbole diferente dependendo do valor de
.
Passo 5
Por fim, vamos fazer o gráfico da função usando o GeoGebra. No GeoGebra, você pode inserir a função
para visualizar como ela se comporta no espaço. Como o domínio está restrito dentro das retas
e
, o gráfico vai existir apenas nessa região. Além disso, por ser uma função que tende ao infinito quando
se aproxima de zero, veremos que o gráfico tem uma espécie de “arqueamento” nessas bordas.
Resposta
Então, resumindo:
- Domínio: Todos os
que satisfazem . - Imagem: Todos os valores positivos, ou seja,
. - Curvas de níveis: Hipérboles definidas por
para cada constante . - Gráfico: Uma superfície definida dentro das retas
e , que pode ser visualizada usando o GeoGebra.