Determine domínio e imagem de
Passo 1
O que o problema pede e quais informações temos.\n
- Pede determinar o domínio e a imagem da função
.\n - Informação dada: a fórmula explícita de
em função de . Não há outras restrições no enunciado.\n
As duas perguntas são, então: (1) para quais valores dea função está definida (domínio)? e (2) quais valores a função pode assumir (imagem)?
Passo 2
Análise do domínio: quando a função não está definida.\n
Uma função racional não está definida quando o denominador
é zero. Aqui o denominador é
. Vou verificar se
tem solução real.\n
Resolver dá
, que não tem solução em
porque quadrado de número real nunca é negativo. Além disso, para todo
vale
, logo
.\n
Conclusão: o denominador nunca é zero e a função está definida para todo . Portanto o domínio é
.
Uma função racional
Resolver
Conclusão: o denominador nunca é zero e a função está definida para todo
Passo 3
Preparar uma transformação para estudar a imagem: observar que a função depende apenas de
.\n
Defina . Como
, temos
. Reescrevendo
em função de
obtemos a função auxiliar
Defina
Determinar a imagem de
é equivalente a determinar a imagem de
para
, pois cada
corresponde a algum
(por exemplo
ou
).
Passo 4
Manipular
para ficar mais claro o comportamento conforme
varia.\n
Faço a transformação algébrica
Faço a transformação algébrica
Agora é fácil ver como
varia quando
muda: o termo
é positivo para todo
e, quando
cresce,
cresce e
diminui.
Passo 5
Determinar extremos e limites de
no intervalo
.\n
- Para
(isto é, ) temos
- Para
(isto é, ) temos
Como
é sempre positivo e varia de
(quando
) decrescendo até
(quando
), a expressão
varia de
(inclusive) até
(mas sem alcançá-lo). Em outras palavras,
é crescente em
, começa em
e tende para
sem nunca ser igual a
.
Passo 6
Concluir a imagem da função.\n
Do passo anterior segue que todos os valores tais que
são atingidos por
com algum
, e nenhum valor fora desse intervalo é atingido. Portanto a imagem de
é o intervalo
.
Do passo anterior segue que todos os valores
Resposta
Domínio:
\n
Imagem:
Imagem: