Determine domínio e imagem de
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos.\n
  • Pede determinar o domínio e a imagem da função \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}.\n
  • Informação dada: a fórmula explícita de f em função de x. Não há outras restrições no enunciado.\n
    As duas perguntas são, então: (1) para quais valores de x a função está definida (domínio)? e (2) quais valores y a função pode assumir (imagem)?

Passo 2

Análise do domínio: quando a função não está definida.\n
Uma função racional \displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} não está definida quando o denominador Q(x) é zero. Aqui o denominador é \displaystyle x^{2}+1. Vou verificar se \displaystyle x^{2}+1=0 tem solução real.\n
Resolver \displaystyle x^{2}+1=0 \displaystyle x^{2}=-1, que não tem solução em \mathbb{R} porque quadrado de número real nunca é negativo. Além disso, para todo x\in\mathbb{R} vale \displaystyle x^{2}\ge 0, logo \displaystyle x^{2}+1\ge 1>0.\n
Conclusão: o denominador nunca é zero e a função está definida para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o domínio é \displaystyle \mathbb{R}.

Passo 3

Preparar uma transformação para estudar a imagem: observar que a função depende apenas de x^{2}.\n
Defina \displaystyle t=x^{2}. Como x\in\mathbb{R}, temos \displaystyle t\ge 0. Reescrevendo f em função de t obtemos a função auxiliar
g(t)=\frac{t-1}{t+1},\qquad t\ge 0.
Determinar a imagem de f é equivalente a determinar a imagem de g para t\ge 0, pois cada t\ge0 corresponde a algum x (por exemplo x=\sqrt{t} ou x=-\sqrt{t}).

Passo 4

Manipular g(t) para ficar mais claro o comportamento conforme t varia.\n
Faço a transformação algébrica
\frac{t-1}{t+1}=\frac{t+1-2}{t+1}=1-\frac{2}{t+1}.
Agora é fácil ver como g(t) varia quando t muda: o termo \displaystyle \frac{2}{t+1} é positivo para todo t\ge 0 e, quando t cresce, \displaystyle t+1 cresce e \displaystyle \frac{2}{t+1} diminui.

Passo 5

Determinar extremos e limites de g(t) no intervalo t\ge 0.\n
  • Para t=0 (isto é, x=0) temos
g(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1.
  • Para t\to\infty (isto é, |x|\to\infty) temos
\lim_{t\to\infty}g(t)=\lim_{t\to\infty}\left(1-\frac{2}{t+1}\right)=1-0=1.
Como \displaystyle \frac{2}{t+1} é sempre positivo e varia de 2 (quando t=0) decrescendo até 0 (quando t\to\infty), a expressão 1-\frac{2}{t+1} varia de -1 (inclusive) até 1 (mas sem alcançá-lo). Em outras palavras, g(t) é crescente em t\ge0, começa em -1 e tende para 1 sem nunca ser igual a 1.

Passo 6

Concluir a imagem da função.\n
Do passo anterior segue que todos os valores y tais que -1\le y<1 são atingidos por g(t) com algum t\ge0, e nenhum valor fora desse intervalo é atingido. Portanto a imagem de f é o intervalo [-1,1).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\n
Imagem: [-1,1)