Determine o domínio das seguintes funções:
z) y = 1/x - x/(x^2 + x + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio da função . Estamos trabalhando com funções racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. Para encontrar o domínio, precisamos identificar todos os valores de que deixam a função bem definida, ou seja, onde os denominadores não são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o primeiro termo da função: . Aqui, o denominador é . Precisamos garantir que não seja igual a zero, porque dividir por zero não é permitido na matemática. Então, uma condição que já temos é:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o segundo termo da função: . O denominador agora é . Para que essa fração esteja definida, o denominador também não pode ser zero. Então, precisamos resolver a equação:

Passo 4

Vamos verificar se a equação tem soluções reais. Para isso, usamos o discriminante da equação quadrática, que é , onde , e :
Como o discriminante é negativo ( ), não existem soluções reais para a equação . Isso significa que o denominador nunca será zero para nenhum valor real de .

Passo 5

Com base nas etapas anteriores, sabemos que:
  1. não pode ser igual a zero.
  2. O denominador nunca é zero para valores reais de .
Portanto, a única restrição para o domínio da função é .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto zero. Em notação matemática:

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