Para uma expansão adiabática partindo de ( \mathrm{V}_{1}, \mathrm{p}_{1} ) até \mathrm{V}_{2}, determine o trabalho realizado em função das pressões e volumes. Explique por que a variação de entropia é nula neste caso.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o trabalho realizado por um gás numa expansão adiabática que parte do ponto (\mathrm{V}_1,\mathrm{p}_1) até \mathrm{V}_2, escrevendo o trabalho em função das pressões e volumes envolvidos.
  • Explicar por que a variação de entropia é nula nesse caso.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (assuma que a questão está bem posta):
  • A expansão é adiabática e será tratada como reversível (quase-estática). Essa hipótese é necessária para usar a lei adiabática \mathrm{p}\,\mathrm{V}^\gamma=\text{constante}.
  • Vou admitir que o gás se comporta como gás ideal, de modo que a constante adiabática \gamma é definida por \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}, onde C_P e C_V são as capacidades térmicas molares a pressão e volume constantes, respectivamente.
  • Convenção de sinais: chamo de W o trabalho realizado pelo gás sobre o entorno. Com essa convenção, numa expansão W>0 e W=\displaystyle\int_{V_1}^{V_2} p\,dV.

Passo 2

Recordando a expressão geral do trabalho em um processo quasiestático:
  • Em qualquer processo quasiestático (reversível), o trabalho realizado pelo gás quando o volume varia de \mathrm{V}_1 para \mathrm{V}_2 é
W=\int_{\mathrm{V}_1}^{\mathrm{V}_2} p\,dV.
Aqui p é a pressão interna do gás (função de V ao longo do processo). Para avaliar essa integral precisamos de uma relação entre p e V válida para a expansão adiabática reversível.

Passo 3

Lei adiabática para gás ideal (reversível):
  • Para um gás ideal em um processo adiabático reversível vale
pV^\gamma=\text{consta\\ -nte}.
  • Explicando símbolos: p é a pressão, V o volume, e \gamma é a razão das capacidades térmicas \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}. Tipicamente \gamma\approx 5/3 para gás monoatômico e \gamma\approx 7/5 para gás diatômico (valores orientadores).
  • Chame a constante de C, isto é
C=pV^\gamma.
Em particular C=p_1 V_1^\gamma=p_2 V_2^\gamma, onde p_2 é a pressão no volume \mathrm{V}_2.

Passo 4

Expressar p como função de V e integrar:
  • Da relação adiabática temos
p=C\,V^{-\gamma}.
  • Substituindo em W:
W=\int_{\mathrm{V}_1}^{\mathrm{V}_2} C\,V^{-\gamma}\,dV.
  • Fazer a integral (mostrar passo a passo):
\int V^{-\gamma}\,dV=\frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}\qquad(\text{desde que }\gamma\neq 1).
  • Portanto
W=C\left[\frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right]_{\mathrm{V}_1}^{\mathrm{V}_2} = \frac{C}{1-\gamma}\left(V_2^{\,1-\gamma}-V_1^{\,1-\gamma}\right).

Passo 5

Escrever o resultado em termos de p_1,V_1,p_2,V_2 e simplificar:
  • Lembrando que C=p_1 V_1^\gamma e que p_1 V_1 = C V_1^{1-\gamma}, e análogamente p_2 V_2 = C V_2^{1-\gamma}, podemos reescrever a expressão anterior como
W=\frac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1-\gamma}.
  • Multiplicando numerador e denominador por -1 obtemos a forma talvez mais usual
W=\frac{p_1 V_1 - p_2 V_2}{\gamma-1}.
  • Ambas as formas são equivalentes; a segunda deixa explícito que se \mathrm{V}_2>\mathrm{V}_1 (expansão) e p_2<p_1 então W>0 quando \gamma>1, como esperado.
  • Observação útil: também se pode escrever p_2 em função de p_1,V_1,V_2 pela lei adiabática:
p_2=p_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma},
e então substituir em W se desejar uma expressão que contenha só p_1,V_1,V_2,\gamma.

Passo 6

Por que a variação de entropia é nula?
  • Definição termodinâmica de entropia: para um processo reversível infinitesimal temos
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente e T a temperatura.
  • Num processo adiabático a troca de calor é nula: \delta Q=0 ao longo do processo. Se, além disso, o processo é reversível, então \delta Q_{\text{rev}}=0.
  • Integrando entre os estados inicial e final:
\Delta S=\int dS=\int\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}=0.
  • Conclusão: para uma expansão adiabática reversível a variação de entropia é zero — isso é o que se chama também de processo isentrópico.
  • Observação importante (para não confundir): se a expansão adiabática for irreversível (por exemplo, uma expansão livre de gás ideal para um volume maior sem fazer trabalho), ainda vale \delta Q=0 mas a entropia do gás aumenta ( \Delta S>0) porque a fórmula \Delta S=\int \delta Q_{\text{rev}}/T exige um caminho reversível de referência para calcular a variação de entropia; processos adiabáticos irreversíveis aumentam entropia. Portanto “adiabático” não implica automaticamente “isentrópico” — é necessária também a reversibilidade.

Resposta

W=\dfrac{p_1 V_1 - p_2 V_2}{\gamma-1}
\Delta S=0 (para expansão adiabática reversível)

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