Para uma expansão adiabática partindo de (
) até
, determine o trabalho realizado em função das pressões e volumes. Explique por que a variação de entropia é nula neste caso.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o trabalho realizado por um gás numa expansão adiabática que parte do ponto
até , escrevendo o trabalho em função das pressões e volumes envolvidos. - Explicar por que a variação de entropia é nula nesse caso.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (assuma que a questão está bem posta):
- A expansão é adiabática e será tratada como reversível (quase-estática). Essa hipótese é necessária para usar a lei adiabática
. - Vou admitir que o gás se comporta como gás ideal, de modo que a constante adiabática
é definida por , onde e são as capacidades térmicas molares a pressão e volume constantes, respectivamente. - Convenção de sinais: chamo de
o trabalho realizado pelo gás sobre o entorno. Com essa convenção, numa expansão e .
Passo 2
Recordando a expressão geral do trabalho em um processo quasiestático:
- Em qualquer processo quasiestático (reversível), o trabalho realizado pelo gás quando o volume varia de
para é
Aqui
é a pressão interna do gás (função de
ao longo do processo). Para avaliar essa integral precisamos de uma relação entre
e
válida para a expansão adiabática reversível.
Passo 3
Lei adiabática para gás ideal (reversível):
- Para um gás ideal em um processo adiabático reversível vale
- Explicando símbolos:
é a pressão, o volume, e é a razão das capacidades térmicas . Tipicamente para gás monoatômico e para gás diatômico (valores orientadores). - Chame a constante de
, isto é
Em particular
, onde
é a pressão no volume
.
Passo 4
Expressar
como função de
e integrar:
- Da relação adiabática temos
- Substituindo em
:
- Fazer a integral (mostrar passo a passo):
- Portanto
Passo 5
Escrever o resultado em termos de
e simplificar:
- Lembrando que
e que , e análogamente , podemos reescrever a expressão anterior como
- Multiplicando numerador e denominador por
obtemos a forma talvez mais usual
- Ambas as formas são equivalentes; a segunda deixa explícito que se
(expansão) e então quando , como esperado. - Observação útil: também se pode escrever
em função de pela lei adiabática:
e então substituir em
se desejar uma expressão que contenha só
.
Passo 6
Por que a variação de entropia é nula?
- Definição termodinâmica de entropia: para um processo reversível infinitesimal temos
onde
é o calor trocado reversivelmente e
a temperatura.
- Num processo adiabático a troca de calor é nula:
ao longo do processo. Se, além disso, o processo é reversível, então . - Integrando entre os estados inicial e final:
- Conclusão: para uma expansão adiabática reversível a variação de entropia é zero — isso é o que se chama também de processo isentrópico.
- Observação importante (para não confundir): se a expansão adiabática for irreversível (por exemplo, uma expansão livre de gás ideal para um volume maior sem fazer trabalho), ainda vale
mas a entropia do gás aumenta ( ) porque a fórmula exige um caminho reversível de referência para calcular a variação de entropia; processos adiabáticos irreversíveis aumentam entropia. Portanto “adiabático” não implica automaticamente “isentrópico” — é necessária também a reversibilidade.