Determine a equação da elipse de focos F1 (3,0) e F2 (-3,0), sabendo que o comprimento do eixo maior é 8.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre elipses! A gente tem dois focos dados, F₁(3, 0) e F₂(-3, 0), e sabemos que o comprimento do eixo maior é 8. Vamos precisar usar as propriedades básicas das elipses para encontrar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é a distância entre os dois focos. A fórmula para a distância entre os focos de uma elipse é
, onde
é a distância de cada foco ao centro da elipse.
Passo 3
Calculando a distância entre F₁(3, 0) e F₂(-3, 0):
Então,
, o que significa que
.
Passo 4
Sabemos também que o comprimento do eixo maior é
, então:
Aqui,
representa o semi-eixo maior da elipse.
Passo 5
Agora, vamos usar a relação fundamental das elipses:
Substituindo os valores que encontramos:
Assim,
é o semi-eixo menor.
Passo 6
Com esses valores, podemos escrever a equação da elipse. Como os focos estão no eixo
, a equação padrão da elipse será:
Substituindo
e
:
Resposta
A equação da elipse é: