Determine a equação da elipse de focos F1 (3,0) e F2 (-3,0), sabendo que o comprimento do eixo maior é 8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre elipses! A gente tem dois focos dados, F₁(3, 0) e F₂(-3, 0), e sabemos que o comprimento do eixo maior é 8. Vamos precisar usar as propriedades básicas das elipses para encontrar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a distância entre os dois focos. A fórmula para a distância entre os focos de uma elipse é 2c, onde c é a distância de cada foco ao centro da elipse.

Passo 3

Calculando a distância entre F₁(3, 0) e F₂(-3, 0):
Distância = raiz(3 - (-3))^2 + (0 - 0)^2 = raiz6^2 = 6 â
Então, 2c = 6, o que significa que c = 3.

Passo 4

Sabemos também que o comprimento do eixo maior é 2a = 8, então:
a = 82 = 4
Aqui, a representa o semi-eixo maior da elipse.

Passo 5

Agora, vamos usar a relação fundamental das elipses:
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo os valores que encontramos:
3^2 = 4^2 - b^2 9 = 16 - b^2 b^2 = 16 - 9 b^2 = 7
Assim, b = raiz7 é o semi-eixo menor.

Passo 6

Com esses valores, podemos escrever a equação da elipse. Como os focos estão no eixo x, a equação padrão da elipse será:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Substituindo a = 4 e b^2 = 7:
x^216 + y^27 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
x^216 + y^27 = 1

Exercícios relacionados