Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
O elipsóide 2 x^2 + 3 y^2 + 6 z^2 = 6,
Resp.: r(u, v) = (raiz(3) * cos(u) * cos(v), raiz(3) * cos(u) * sen(v), raiz(2) * sen(u)), (u, v) em [-pi/2, pi/2] x [0, 2pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a tarefa de achar uma equação paramétrica para uma superfície específica chamada elipsóide, que é dada pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de geometria analítica e como transformar essa equação geral em uma forma parametrizada usando trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do elipsóide para deixá-la mais fácil de trabalhar. A equação que temos é:
Vamos dividir todos os termos por 6 para simplificar:
O que simplifica para:

Passo 3

Agora, para encontrar uma equação paramétrica, a gente vai usar coordenadas esféricas modificadas para elipsóides. A ideia é expressar , e em termos de dois ângulos, e , que vão variar dentro de certos intervalos.
A forma geral para um elipsóide é:
Onde , e são os semi-eixos do elipsóide.

Passo 4

Vamos identificar os valores de , e a partir da nossa equação simplificada:
Comparando com a forma geral, temos:

Passo 5

Com esses valores, podemos escrever as equações paramétricas:

Passo 6

Por fim, precisamos definir os intervalos para os parâmetros e . Geralmente, varia de a para cobrir todas as posições verticalmente, e varia de a para cobrir todas as posições ao redor do eixo.

Resposta

A equação paramétrica do elipsóide é:

Exercícios relacionados