Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado:
z=y \ln \left(2 x^{2}\right) no ponto \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1,0\right).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
z = y \ln\bigl(2x^{2}\bigr)
no ponto \bigl(x_{0},y_{0},z_{0}\bigr)=\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},1,0\bigr).
Conteúdo: para um gráfico de função explícita z=f(x,y), o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é dado por
z - z_{0} =\frac{\partial z}{\partial x}\Bigl|_{(x_{0},y_{0})}(x - x_{0}) +\frac{\partial z}{\partial y}\Bigl|_{(x_{0},y_{0})}(y - y_{0})\,.
Então vamos precisar das derivadas parciais de z.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
z = y\,\ln\bigl(2x^{2}\bigr)\,.
Para \partial z/\partial x, tratamos y como constante e usamos
\frac{d}{dx}\ln\bigl(2x^{2}\bigr) =\frac{1}{2x^{2}}\cdot(4x) =\frac{2}{x}\,,
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\frac{\partial z}{\partial x} = y\cdot\frac{2}{x} =\frac{2y}{x}.
Para \partial z/\partial y, x é constante, então
\frac{\partial z}{\partial y} =\ln\bigl(2x^{2}\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos em \bigl(x_{0},y_{0}\bigr)=\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},1\bigr):
\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(x_{0},y_{0})} =\frac{2\cdot1}{\frac{\sqrt2}{2}} =\frac{2}{\tfrac{\sqrt2}{2}} =2\cdot\frac{2}{\sqrt2} =\frac{4}{\sqrt2} =2\sqrt2,
\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(x_{0},y_{0})} =\ln\bigl(2(\tfrac{\sqrt2}{2})^{2}\bigr) =\ln(2\cdot\tfrac12) =\ln(1) =0.

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente
z - z_{0} =\Bigl(2\sqrt2\Bigr)\,(x - x_{0}) +0\,(y - y_{0}),
com z_{0}=0 e x_{0}=\tfrac{\sqrt2}{2}, obtemos
z =2\sqrt2\,(x - \tfrac{\sqrt2}{2}) =2\sqrt2\,x -2.

Resposta

A equação do plano tangente é
z =2\sqrt2\,x -2.

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