Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Os pontos limitantes dos eixos real e imaginário são, respectivamente, (3,1),(9,1) e (6,-1) e (6,3).

Passo 1

O enunciado fornece quatro pontos (peguei estes pontos do enunciado) e pede a equação reduzida da hipérbole que tem esses pontos como pontos limitantes dos eixos real e imaginário. Os dados são:
  • Pontos limitantes do eixo real: (3,1) e (9,1).
  • Pontos limitantes do eixo imaginário: (6,-1) e (6,3).
O que se pede explicitamente: determinar a equação reduzida da hipérbole que possui esses pontos como extremos dos eixos associados (isto é, encontrar a equação canônica da hipérbole deslocada/centrada apropriadamente).

Passo 2

Entender o que representam esses pontos. Quando duas pontos têm a mesma ordenada (mesmo y) como (3,1) e (9,1), eles são simétricos horizontalmente e indicam que a hipérbole tem eixo transverso horizontal com extremos em (3,1) e (9,1). Quando dois pontos têm a mesma abscissa (mesmo x) como (6,-1) e (6,3), eles são simétricos verticalmente e indicam os extremos do eixo conjugado (co-vértices) em (6,-1) e (6,3). Note que os dois pares têm o mesmo ponto médio, o que confirma que são eixos perpendiculares que se cruzam no centro da hipérbole.

Passo 3

Calcular o centro da hipérbole como o ponto médio dos pares (uso a fórmula do ponto médio):
A fórmula do ponto médio entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right).
  • Ponto médio de (3,1) e (9,1):
\left(\dfrac{3+9}{2},\dfrac{1+1}{2}\right)=\left(\dfrac{12}{2},\dfrac{2}{2}\right)=(6,1).
  • Ponto médio de (6,-1) e (6,3):
\left(\dfrac{6+6}{2},\dfrac{-1+3}{2}\right)=\left(6,\dfrac{2}{2}\right)=(6,1).
Como os dois pontos médios coincidem em (6,1), esse é o centro da hipérbole. Vou denotar o centro por (h,k)=(6,1).

Passo 4

Determinar os semi-eixos a e b. Para uma hipérbole com eixo transverso horizontal, os vértices (extremos do eixo real) são (h\pm a,k) e os co-vértices (extremos do eixo conjugado) são (h,k\pm b). Assim:
  • A distância total entre (3,1) e (9,1) é |9-3|=6. Logo o semi-eixo maior (semi-transverso) é
a=\dfrac{6}{2}=3.
(Explicando: a é metade da distância entre os dois vértices horizontais.)
  • A distância total entre (6,-1) e (6,3) é |3-(-1)|=4. Logo o semi-eixo conjugado é
b=\dfrac{4}{2}=2.
(Explicando: b é metade da distância entre os dois co-vértices verticais.)

Passo 5

Escrever a forma reduzida (canônica) da hipérbole deslocada. Para hipérbole com centro em (h,k) e eixo transverso horizontal, a equação reduzida é
\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.
Aqui:
  • (h,k)=(6,1) é o centro,
  • a=3 então a^2=9,
  • b=2 então b^2=4.
Substituindo esses valores, obtém-se a equação:
\frac{(x-6)^2}{9}-\frac{(y-1)^2}{4}=1.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): os vértices (3,1) e (9,1) devem satisfazer a equação. Por exemplo, para (3,1):
\frac{(3-6)^2}{9}-\frac{(1-1)^2}{4}=\frac{9}{9}-0=1,
ok. Os co-vértices (6,-1) e (6,3) verificam
\frac{(6-6)^2}{9}-\frac{(-1-1)^2}{4}=0-\frac{4}{4}=-1,
ou seja, ficam na linha correspondente à diferença de sinais esperada (são os extremos do eixo conjugado), o que está consistente com a geometria da hipérbole.

Resposta

\frac{(x-6)^2}{9}-\frac{(y-1)^2}{4}=1