Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Os pontos limitantes dos eixos real e imaginário são, respectivamente,
e
e
.
Os pontos limitantes dos eixos real e imaginário são, respectivamente,
Passo 1
O enunciado fornece quatro pontos (peguei estes pontos do enunciado) e pede a equação reduzida da hipérbole que tem esses pontos como pontos limitantes dos eixos real e imaginário. Os dados são:
- Pontos limitantes do eixo real:
e . - Pontos limitantes do eixo imaginário:
e .
O que se pede explicitamente: determinar a equação reduzida da hipérbole que possui esses pontos como extremos dos eixos associados (isto é, encontrar a equação canônica da hipérbole deslocada/centrada apropriadamente).
Passo 2
Entender o que representam esses pontos. Quando duas pontos têm a mesma ordenada (mesmo
) como
e
, eles são simétricos horizontalmente e indicam que a hipérbole tem eixo transverso horizontal com extremos em
e
. Quando dois pontos têm a mesma abscissa (mesmo
) como
e
, eles são simétricos verticalmente e indicam os extremos do eixo conjugado (co-vértices) em
e
. Note que os dois pares têm o mesmo ponto médio, o que confirma que são eixos perpendiculares que se cruzam no centro da hipérbole.
Passo 3
Calcular o centro da hipérbole como o ponto médio dos pares (uso a fórmula do ponto médio):
A fórmula do ponto médio entre e
é
.
A fórmula do ponto médio entre
- Ponto médio de
e :
- Ponto médio de
e :
Como os dois pontos médios coincidem em
, esse é o centro da hipérbole. Vou denotar o centro por
.
Passo 4
Determinar os semi-eixos
e
. Para uma hipérbole com eixo transverso horizontal, os vértices (extremos do eixo real) são
e os co-vértices (extremos do eixo conjugado) são
. Assim:
- A distância total entre
e é . Logo o semi-eixo maior (semi-transverso) é
(Explicando:
é metade da distância entre os dois vértices horizontais.)
- A distância total entre
e é . Logo o semi-eixo conjugado é
(Explicando:
é metade da distância entre os dois co-vértices verticais.)
Passo 5
Escrever a forma reduzida (canônica) da hipérbole deslocada. Para hipérbole com centro em
e eixo transverso horizontal, a equação reduzida é
Aqui:
-
é o centro, -
então , -
então .
Substituindo esses valores, obtém-se a equação:
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): os vértices
e
devem satisfazer a equação. Por exemplo, para
:
ok. Os co-vértices
e
verificam
ou seja, ficam na linha correspondente à diferença de sinais esperada (são os extremos do eixo conjugado), o que está consistente com a geometria da hipérbole.