Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Os pontos limitantes dos eixos imaginário e real são, respectivamente,
e
e
.
Os pontos limitantes dos eixos imaginário e real são, respectivamente,
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos que são os pontos limitantes dos eixos real e imaginário da hipérbole. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
- Pontos fornecidos:
- Dois pontos na mesma linha horizontal:
e . - Dois pontos na mesma linha vertical:
e .
- Dois pontos na mesma linha horizontal:
- O que se pede: determinar a equação reduzida da hipérbole que satisfaz essa propriedade (ou seja, cuja posição/centro e semi-eixos sejam compatíveis com esses pontos).
Passo 2
Identificar o centro da hipérbole a partir dos pontos dados. Regra usada: o centro de uma hipérbole que tem vértices simétricos é o ponto médio entre quaisquer dois pontos opostos do mesmo eixo (por exemplo, entre os dois vértices transversos ou entre os dois vértices conjugados). Fórmula do ponto médio entre
e
:
- Ponto médio entre
e :
- Ponto médio entre
e :
Portanto o centro é
. (Os dois cálculos concordam, ótimo sinal de consistência.)
Passo 3
Determinar a orientação do eixo transverso (horizontal ou vertical). Observação: os pontos
e
têm a mesma ordenada
, portanto estão alinhados horizontalmente em torno do centro
. Isso indica que o eixo transverso é horizontal e que esses dois pontos são os vértices da hipérbole (os extremos do eixo transverso).
Logo a semi-distância ao vértice no sentido horizontal (o semieixo
) é a distância do centro a um desses vértices, calculada em coordenadas como a diferença de abscissas:
Passo 4
Determinar o semieixo conjugado
. Os pontos
e
estão alinhados verticalmente em torno do centro
, então são os extremos do eixo conjugado. A semi-distância vertical do centro a esses pontos é
(ou usando
; ambos dão
).
Passo 5
Recordar a forma reduzida (canônica) da hipérbole com centro
e eixo transverso horizontal. A equação padrão é
onde:
-
é o centro da hipérbole; -
é o semieixo maior (semi-transversal), distância do centro até cada vértice sobre o eixo transverso; -
é o semieixo conjugado (semi-eixo perpendicular ao transverso).
No nosso caso já identificamos
,
,
,
.
Passo 6
Substituir os valores na forma padrão. Primeiro calcular
e
:
Substituindo em
com
e
, obtemos a equação:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas didática): verificar que os vértices
e
satisfazem a equação.
Para :
Para
Para
o cálculo é análogo. Isso confirma que a equação está coerente com os vértices dados.