Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Os pontos limitantes dos eixos imaginário e real são, respectivamente, (3,1),(9,1) e (6,-1) e (6,3).

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos que são os pontos limitantes dos eixos real e imaginário da hipérbole. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Pontos fornecidos:
    • Dois pontos na mesma linha horizontal: (3,1) e (9,1).
    • Dois pontos na mesma linha vertical: (6,-1) e (6,3).
  • O que se pede: determinar a equação reduzida da hipérbole que satisfaz essa propriedade (ou seja, cuja posição/centro e semi-eixos sejam compatíveis com esses pontos).

Passo 2

Identificar o centro da hipérbole a partir dos pontos dados. Regra usada: o centro de uma hipérbole que tem vértices simétricos é o ponto médio entre quaisquer dois pontos opostos do mesmo eixo (por exemplo, entre os dois vértices transversos ou entre os dois vértices conjugados). Fórmula do ponto médio entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).
  • Ponto médio entre (3,1) e (9,1):
\left(\frac{3+9}{2},\frac{1+1}{2}\right)=\left(6,1\right).
  • Ponto médio entre (6,-1) e (6,3):
\left(\frac{6+6}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=\left(6,1\right).
Portanto o centro é (6,1). (Os dois cálculos concordam, ótimo sinal de consistência.)

Passo 3

Determinar a orientação do eixo transverso (horizontal ou vertical). Observação: os pontos (3,1) e (9,1) têm a mesma ordenada y=1, portanto estão alinhados horizontalmente em torno do centro (6,1). Isso indica que o eixo transverso é horizontal e que esses dois pontos são os vértices da hipérbole (os extremos do eixo transverso).
Logo a semi-distância ao vértice no sentido horizontal (o semieixo a) é a distância do centro a um desses vértices, calculada em coordenadas como a diferença de abscissas:
a = |3-6| = 3.

Passo 4

Determinar o semieixo conjugado b. Os pontos (6,-1) e (6,3) estão alinhados verticalmente em torno do centro (6,1), então são os extremos do eixo conjugado. A semi-distância vertical do centro a esses pontos é
b = |3-1| = 2
(ou usando |-1-1|/2 = 2; ambos dão b=2).

Passo 5

Recordar a forma reduzida (canônica) da hipérbole com centro (h,k) e eixo transverso horizontal. A equação padrão é
\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,
onde:
  • (h,k) é o centro da hipérbole;
  • a>0 é o semieixo maior (semi-transversal), distância do centro até cada vértice sobre o eixo transverso;
  • b>0 é o semieixo conjugado (semi-eixo perpendicular ao transverso).
No nosso caso já identificamos h=6, k=1, a=3, b=2.

Passo 6

Substituir os valores na forma padrão. Primeiro calcular a^2 e b^2:
a^2 = 3^2 = 9,\qquad b^2 = 2^2 = 4.
Substituindo em
\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1
com h=6 e k=1, obtemos a equação:
\frac{(x-6)^2}{9}-\frac{(y-1)^2}{4}=1.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas didática): verificar que os vértices (3,1) e (9,1) satisfazem a equação.
Para (3,1):
\frac{(3-6)^2}{9}-\frac{(1-1)^2}{4}=\frac{9}{9}-0=1.
Para (9,1) o cálculo é análogo. Isso confirma que a equação está coerente com os vértices dados.

Resposta

\frac{(x-6)^2}{9}-\frac{(y-1)^2}{4}=1