Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e é invariante sob reflexão em torno do eixo x.
Passo 1
O enunciado pede a reta que passa por
e que, ao refletirmos qualquer ponto dessa reta em torno do eixo
, o ponto refletido continua pertencendo à mesma reta. Essa propriedade é chamada de invariância por reflexão no eixo
.
Passo 2
Se tentarmos uma reta não vertical na forma
então um ponto
sobre essa reta satisfaz
. A sua reflexão no eixo
é
, que precisaria também satisfazer a equação da reta:
Subtraindo as duas expressões
obtemos
o que força
e
, ou seja, a reta
. Mas
não passa por
.
Passo 3
Resta então considerar retas verticais, descritas por
Refletir
no eixo
dá
, que continua satisfazendo
. Ou seja, toda reta vertical é invariante por reflexão em
.
Passo 4
Para que a reta vertical passe por
, basta escolher
. Logo, a reta procurada é
Resposta
x