Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e é invariante sob reflexão em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por (1,2) e que, ao refletirmos qualquer ponto dessa reta em torno do eixo x, o ponto refletido continua pertencendo à mesma reta. Essa propriedade é chamada de invariância por reflexão no eixo x.

Passo 2

Se tentarmos uma reta não vertical na forma
y = m x + b,
então um ponto (x,y) sobre essa reta satisfaz y = m x + b. A sua reflexão no eixo x é (x,-y), que precisaria também satisfazer a equação da reta:
-\,y = m x + b.
Subtraindo as duas expressões
y = m x + b \quad\text{e}\quad -y = m x + b
obtemos
2\,m x + 2\,b = 0 \quad\forall x,
o que força m=0 e b=0, ou seja, a reta y=0. Mas y=0 não passa por (1,2).

Passo 3

Resta então considerar retas verticais, descritas por
x = c.
Refletir (c,y) no eixo x (c,-y), que continua satisfazendo x=c. Ou seja, toda reta vertical é invariante por reflexão em x.

Passo 4

Para que a reta vertical passe por (1,2), basta escolher c=1. Logo, a reta procurada é
x = 1.

Resposta

x =1

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