Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e é invariante sob rotação de 180 graus em torno da origem.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma reta que passa pelo ponto (1,2) e é invariante sob rotação de 180^\circ em torno da origem. Conteúdo: geometria analítica e simetrias.

Passo 2

Uma rotação de 180^\circ em torno da origem é dada por
(x,y)\mapsto(-x,-y).
Para uma reta L ser invariante, valem: se P\in L então R_{180}(P)\in L.

Passo 3

Como (1,2) pertence à reta, seu ponto rotacionado
R_{180}(1,2)=(-1,-2)
também deve pertencer. Logo a reta passa por (1,2) e (-1,-2).

Passo 4

O coeficiente angular m da reta que passa por esses pontos é
m = \frac{2 - (-2)}{1 - (-1)} = \frac{4}{2} = 2.
Na forma ponto-declive:
y - 2 = 2(x - 1),
que se simplifica para
y = 2x.

Resposta

y = 2x

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