Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e é tangente à circunferência de centro na origem e raio 1.

Passo 1

O enunciado pede as retas que passam por (1,2) e tocam a circunferência de centro na origem e raio 1. O conteúdo aqui é “reta tangente a uma circunferência”. Podemos usar duas abordagens equivalentes: (i) impor intersecção dupla (discriminante zero) ao substituir a reta na equação da circunferência; (ii) usar a condição de que a distância do centro à reta é igual a 1. Vamos usar a condição de distância, pois trata todos os casos (incluindo reta vertical).

Passo 2

Escrevendo a reta genérica não vertical com coeficiente angular m:
y = m x + b
Como ela passa por (1,2), temos
2 = m\cdot1 + b \quad\Longrightarrow\quad b = 2 - m.

Passo 3

A distância do ponto (0,0) (centro da circunferência) à reta y = m x + b é
\frac{\lvert b\rvert}{\sqrt{m^2+1}}.
Para ser tangente, essa distância deve valer o raio 1, logo
\frac{\lvert 2 - m\rvert}{\sqrt{m^2+1}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad (2 - m)^2 = m^2 + 1.
Expandindo e reduzindo termos:
4 - 4m + m^2 = m^2 + 1 \quad\Longrightarrow\quad 4 - 4m = 1 \quad\Longrightarrow\quad m = \tfrac{3}{4}.

Passo 4

Substituindo m=\tfrac{3}{4} em b=2-m
b = 2 - \tfrac{3}{4} = \tfrac{5}{4}.
Portanto uma das retas é
y = \tfrac{3}{4}x + \tfrac{5}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad y - 2 = \tfrac{3}{4}(x - 1).

Passo 5

Falta o caso de reta vertical m\to\infty. A reta vertical que passa por (1,2) é
x = 1.
A distância do centro (0,0) a essa reta é \lvert1-0\rvert=1, igual ao raio, logo ela também é tangente.

Resposta

As retas são
x = 1 \quad\text{e}\quad y = \tfrac{3}{4}x + \tfrac{5}{4}.

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