Determine a equação da reta que passa pelos pontos A e C.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a equação da reta que passa pelos pontos A e C.
Informações que extraí da figura (estou pegando esses dados da imagem):
  • Há um ponto de referência (o canto com o símbolo de ângulo reto); vou tomar esse ponto como a origem dos eixos (0,0), com eixo x para a direita e eixo y para cima.
  • A figura mostra uma distância vertical de 2\\ \text{m} da origem até a projeção de A; portanto, tomo A como o ponto (0,2).
  • A figura indica dois trechos ao longo da barra: 1{,}5\\ \text{m} de A até C e 1{,}5\\ \text{m} de C até B. Logo, AC=1{,}5\\ \text{m}, CB=1{,}5\\ \text{m} e AB=3{,}0\\ \text{m}.
  • A figura mostra B sobre a reta horizontal que passa pela origem (logo, a ordenada de B é 0): y_B=0.
  • A figura também mostra B à direita da origem, então tomo a abscissa de B positiva.
Esses são os dados que vou usar para encontrar a equação da reta AC. Não uso nenhum outro dado oculto da imagem.

Passo 2

Vamos achar as coordenadas de B usando a fórmula da distância (Teorema de Pitágoras). Se A=(0,2) e B=(x_B,0), então a distância AB vale
AB=\sqrt{(x_B-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{x_B^2+4}.
Como AB=3 (extraído da figura), igualamos:
\sqrt{x_B^2+4}=3.
Elevando ao quadrado e resolvendo para x_B:
x_B^2+4=9\quad\Rightarrow\quad x_B^2=5\quad\Rightarrow\quad x_B=\sqrt{5}.
Escolhemos o sinal positivo porque a figura mostra B à direita da origem. Assim
B=\bigl(\sqrt{5},\,0\bigr).

Passo 3

Agora determinamos as coordenadas de C. Como a figura dá AC=CB (cada um 1{,}5\\ \text{m}), C é o ponto médio de A e B. A fórmula do ponto médio entre A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B) é
\Bigl(\frac{x_A+x_B}{2},\;\frac{y_A+y_B}{2}\Bigr).
Aplicando com A=(0,2) e B=(\sqrt{5},0):
C=\Bigl(\frac{0+\sqrt{5}}{2},\;\frac{2+0}{2}\Bigr)=\Bigl(\frac{\sqrt{5}}{2},\;1\Bigr).

Passo 4

Calculamos o coeficiente angular (inclinação) da reta que passa por A e C. A fórmula do coeficiente angular entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Tomando A=(0,2) e C=(\tfrac{\sqrt{5}}{2},1):
m=\frac{1-2}{\tfrac{\sqrt{5}}{2}-0}=\frac{-1}{\tfrac{\sqrt{5}}{2}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}.
Interpretando: a cada unidade que x cresce, y decresce em 2/\sqrt{5}.

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação da reta com ponto A (mais didático na prova): para uma reta com coeficiente angular m que passa por (x_0,y_0),
y-y_0=m(x-x_0).
Com m=-\dfrac{2}{\sqrt{5}} e A=(0,2) obtemos
y-2=-\frac{2}{\sqrt{5}}(x-0),
ou seja
y=2-\frac{2}{\sqrt{5}}\,x.

Passo 6

Podemos também escrever essa equação numa forma sem denominador irracional. Multiplicando ambos os lados por \sqrt{5}:
\sqrt{5}\,y=2\sqrt{5}-2x.
Rearranjando para forma padrão:
2x+\sqrt{5}\,y-2\sqrt{5}=0.

Resposta

y=2-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\,x

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