Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
y=x-2, x=-2

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função y=x-2 no ponto de abscissa x=-2.
Informações dadas:
  • A função é y=x-2.
  • A abscissa do ponto onde queremos a tangente é x=-2.

Passo 2

O que é reta tangente aqui (explicação didática e simples)?
A reta tangente ao gráfico de uma função num ponto tem duas propriedades importantes:
  • passa pelo ponto da curva correspondente à abscissa dada;
  • tem inclinação (coeficiente angular) igual à derivada da função naquele ponto.
Vou explicar a derivada de maneira prática: a derivada y'=\dfrac{dy}{dx} mede a taxa de variação instantânea da função, isto é, a “inclinação” do gráfico num ponto. Para funções polinomiais simples, calcula-se derivando termo a termo.

Passo 3

Calcular a derivada da função y=x-2.
  • A derivada de x em relação a x é 1.
  • A derivada de uma constante (aqui -2) é 0.
    Portanto,
y' = 1 + 0 = 1.

Passo 4

Avaliar a derivada no ponto de abscissa x=-2 para obter o coeficiente angular m da tangente.
Como y' é constante igual a 1, temos
m = y'(-2) = 1.
Isso significa que a tangente tem inclinação 1.

Passo 5

Encontrar as coordenadas do ponto de contato (o ponto do gráfico com abscissa x=-2).
Calcula-se y(-2):
y(-2) = (-2) - 2 = -4.
Logo o ponto é (x_0,y_0)=(-2,-4).

Passo 6

Usar a fórmula ponto-inclinação da reta tangente: a equação da reta que passa por (x_0,y_0) com coeficiente angular m é
y-y_0 = m(x-x_0).
Substituindo x_0=-2, y_0=-4 e m=1, obtemos a forma
y+4 = 1\,(x+2).

Resposta

y=x-2