Determine uma equação vetorial da reta r interseção dos planos pi1: 2 x+y-z+3=0 e pi2:-x+2 y+z-2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação vetorial de uma reta que é a interseção de dois planos, e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor diretor para a reta n1 = 2 1 -1 e n2 = -1 2 1 . Esse vetor diretor pode ser obtido calculando o produto vetorial dos vetores normais dos planos e .
Os vetores normais são:

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial n1 times n2 = i & j & k 2 & 1 & -1 -1 & 2 & 1 = i(1 cdot 1 - (-1) cdot 2) - j(2 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) + k(2 cdot 2 - 1 cdot (-1)) :
= i(1 + 2) - j(2 - 1) + k(4 + 1) = 3i - 1j + 5k
v = 3 -1 5
Portanto, o vetor diretor da reta é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um ponto que pertence à reta 2x + y - z = -3 -x + 2y + z = 2 . Para isso, vamos resolver o sistema de equações dos planos ( e ) para encontrar as coordenadas desse ponto.
Temos o sistema:

Passo 5

Vamos somar as duas equações para eliminar (2x + y - z) + (-x + 2y + z) = -3 + 2 :
x + 3y = -1
x = -1 - 3y
Vamos expressar em função de :

Passo 6

Agora, vamos atribuir um valor a x = -1 - 3(0) = -1 para encontrar 2(-1) + 0 - z = -3 Rightarrow -2 - z = -3 Rightarrow z = 1 e . Vamos supor que :
Substituindo e na primeira equação do sistema:
Portanto, um ponto da reta é .

Resposta

A equação vetorial da reta r = -1 0 1 + t 3 -1 5 , t in R é:

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