determine uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de \mathbf{r}(t) no ponto P_{0} sobre a curva.
\mathbf{r}(t)=(2 t-1) \mathbf{i}+\sqrt{3 t+4} \mathbf{j}; P_{0}=(-1,2)

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \mathbf{r}(t)=(2t-1)\mathbf{i}+\sqrt{3t+4}\,\mathbf{j}
e pede a reta tangente no ponto P_{0}=(-1,2). Para isso vamos:
  1. Determinar t_{0} tal que \mathbf{r}(t_{0})=P_{0}.
  2. Calcular \mathbf{r}'(t).
  3. Avaliar \mathbf{r}'(t_{0}).
  4. Escrever a equação vetorial da reta com ponto P_{0} e direção \mathbf{r}'(t_{0}).

Passo 2

Resolvendo a componente x para achar t_{0}:
2t_{0}-1=-1
logo \;t_{0}=0.
Verificando a componente y: \sqrt{3\cdot0+4}=\sqrt{4}=2, que coincide com o y de P_{0}.

Passo 3

Calculamos a derivada
\mathbf{r}'(t) =\frac{d}{dt}\bigl((2t-1)\mathbf{i}+\sqrt{3t+4}\,\mathbf{j}\bigr) =2\,\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\bigl(\sqrt{3t+4}\bigr)\mathbf{j}.
Como
\frac{d}{dt}\bigl(\sqrt{3t+4}\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{3t+4}}\cdot3 =\frac{3}{2\sqrt{3t+4}},
temos
\mathbf{r}'(t) =2\,\mathbf{i}+\frac{3}{2\sqrt{3t+4}}\,\mathbf{j}.

Passo 4

Avaliando em t_{0}=0:
\mathbf{r}'(0) =2\,\mathbf{i}+\frac{3}{2\sqrt{4}}\,\mathbf{j} =2\,\mathbf{i}+\frac{3}{4}\,\mathbf{j}.

Passo 5

A reta tangente, com parâmetro s, passa por P_{0} e tem direção \mathbf{r}'(0). Assim:
\mathbf{r}_{\text{reta}}(s) =P_{0}+s\,\mathbf{r}'(0) =(-1,2)+s\bigl(2,\tfrac{3}{4}\bigr).

Resposta

\mathbf{r}_{\text{reta}}(s)=(-1,2)+s\bigl(2,\tfrac{3}{4}\bigr),
isto é
x=-1+2s,\quad y=2+\tfrac{3}{4}s.

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