Determine as equações paramétricas da reta r, determinada pelos seguintes pontos: A=(1,-1,-1) e B=(-2,-2,2)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta quer que a gente encontre as equações paramétricas de uma reta que passa pelos pontos e . Isso está relacionado ao conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente ao estudo de retas no espaço tridimensional.
Para resolver, vamos precisar:
  • Entender o que são equações paramétricas de uma reta.
  • Encontrar o vetor diretor da reta, que indica a direção em que a reta segue.
  • Usar um dos pontos dados como ponto de referência para escrever as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é basicamente a “diferença” entre os dois pontos que a reta passa. Para achar esse vetor, subtraímos as coordenadas de d = B - A = (-2 - 1, -2 - (-1), 2 - (-1)) = (-3, -1, 3) das coordenadas de :
Então, o vetor diretor .

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas descrevem cada coordenada x = x0 + a cdot t y = y0 + b cdot t z = z0 + c cdot t da reta em função de um parâmetro , que pode variar ao longo da reta.
A fórmula geral das equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto e tem vetor diretor é:
Vamos usar o ponto como ponto de referência e o vetor diretor .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:
x = 1 + (-3) cdot t y = -1 + (-1) cdot t z = -1 + 3 cdot t
Simplificando, fica:
x = 1 - 3t y = -1 - t z = -1 + 3t

Resposta

As equações paramétricas da reta x = 1 - 3t y = -1 - t z = -1 + 3t são:

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