determine as
equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de \mathbf{r}(t) no ponto onde t=t_{0}.
\mathbf{r}(t)=t^{2} \mathbf{i}+(2-\ln t) \mathbf{j} ; t_{0}=1

Passo 1

O enunciado dá a curva no plano \displaystyle \mathbf{r}(t)=t^{2}\,\mathbf{i}+\bigl(2-\ln t\bigr)\,\mathbf{j}
e pede as equações paramétricas da reta tangente em t_{0}=1.
Para isso precisamos calcular o ponto \mathbf{r}(1) e o vetor direção dado por \mathbf{r}'(1), e depois usar \mathbf{L}(s)=\mathbf{r}(1)+s\,\mathbf{r}'(1).

Passo 2

Calcular o ponto de tangência:
\mathbf{r}(1)=1^{2}\,\mathbf{i}+\bigl(2-\ln 1\bigr)\,\mathbf{j} =\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}.

Passo 3

Calcular a derivada de \mathbf{r}(t):
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)\,\mathbf{i} +\frac{d}{dt}\bigl(2-\ln t\bigr)\,\mathbf{j} =2t\,\mathbf{i}-\frac{1}{t}\,\mathbf{j}.

Passo 4

Avaliar a derivada em t=1:
\mathbf{r}'(1)=2\cdot1\,\mathbf{i}-\frac{1}{1}\,\mathbf{j} =2\,\mathbf{i}-\mathbf{j}.

Passo 5

Escrever a reta tangente em função de um parâmetro s:
\mathbf{L}(s)=\mathbf{r}(1)+s\,\mathbf{r}'(1) =\bigl(1,2\bigr)+s\bigl(2,-1\bigr).
Logo as equações paramétricas são:

Resposta

x=1+2s y=2-s

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