determine as
equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de \mathbf{r}(t) no ponto onde t=t_{0}.
\mathbf{r}(t)=\ln t \mathbf{i}+e^{-t} \mathbf{j}+t^{3} \mathbf{k} ; t_{0}=2

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial \mathbf{r}(t)=\ln t\,\mathbf{i}+e^{-t}\,\mathbf{j}+t^{3}\,\mathbf{k}
e pede as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de \mathbf{r}(t) no ponto em que t=2.
Conteúdo: derivada de função vetorial e equação de reta em forma paramétrica.

Passo 2

Calcular a derivada vetorial \mathbf{r}'(t).
\mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(\ln t\,\mathbf{i}+e^{-t}\,\mathbf{j}+t^{3}\,\mathbf{k}\bigr) = \frac{1}{t}\,\mathbf{i} - e^{-t}\,\mathbf{j} + 3t^{2}\,\mathbf{k}

Passo 3

Avaliar \mathbf{r}(t) e \mathbf{r}'(t) em t=2:
\mathbf{r}(2) = \bigl(\ln 2,\;e^{-2},\;8\bigr), \quad \mathbf{r}'(2) = \Bigl(\tfrac12,\;-e^{-2},\;12\Bigr)

Passo 4

A reta tangente em t=2 tem equação vetorial
\mathbf{r}_{\text{t}}(s) = \mathbf{r}(2) + s\,\mathbf{r}'(2) = (\ln 2,\;e^{-2},\;8) + s\Bigl(\tfrac12,\;-e^{-2},\;12\Bigr).

Resposta

\begin{cases} x(s)=\ln 2+\tfrac{1}{2}\,s,\\\ y(s)=e^{-2}-e^{-2}\,s,\\\ z(s)=8+12\,s. \end{cases}

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