Determine as equações vetorial e paramétricas da reta tangente à hélice com equações paramétricas
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para determinarmos as equações vetorial e paramétrica da reta tangente à hélice dada pelas equações paramétricas:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma reta tangente a uma hélice. A reta tangente em um ponto específico da hélice tem a mesma direção que o vetor derivada da hélice nesse ponto.
Então, vamos começar encontrando as derivadas de
,
e
em relação a
:
Essas derivadas representam as componentes do vetor tangente à hélice no ponto correspondente a um valor específico de
.
Passo 3
Agora, para escrever a equação vetorial da reta tangente, precisamos de um ponto na hélice e do vetor diretor da reta tangente.
O ponto na hélice para um valor específico de
é:
E o vetor diretor (vetor tangente) nesse ponto é:
Passo 4
Com o ponto
e o vetor diretor
, podemos escrever a equação vetorial da reta tangente:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos separar isso nas equações paramétricas da reta tangente. Isso significa expressar cada coordenada
,
e
em função do parâmetro
:
Resposta
As equações vetorial e paramétricas da reta tangente à hélice são:
Equação Vetorial:
Equações Paramétricas:
Onde
é o parâmetro correspondente ao ponto na hélice onde a reta tangente está sendo considerada, e
é o parâmetro da reta tangente.