Determine as equações vetorial e paramétricas da reta tangente à hélice com equações paramétricas
x=2 cos t, y=sen t e z=t

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para determinarmos as equações vetorial e paramétrica da reta tangente à hélice dada pelas equações paramétricas:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma reta tangente a uma hélice. A reta tangente em um ponto específico da hélice tem a mesma direção que o vetor derivada da hélice nesse ponto.
Então, vamos começar encontrando as derivadas de dxdt = -2 sen t , dydt = cos t e dzdt = 1 em relação a :
Essas derivadas representam as componentes do vetor tangente à hélice no ponto correspondente a um valor específico de .

Passo 3

Agora, para escrever a equação vetorial da reta tangente, precisamos de um ponto na hélice e do vetor diretor da reta tangente.
O ponto na hélice para um valor específico de P(t0) = (2 cos t0, sen t0, t0) é:
E o vetor diretor (vetor tangente) nesse ponto é:

Passo 4

Com o ponto r(s) = P(t0) + s cdot v e o vetor diretor r(s) = (2 cos t0, sen t0, t0) + s cdot (-2 sen t0, cos t0, 1) , podemos escrever a equação vetorial da reta tangente:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos separar isso nas equações paramétricas da reta tangente. Isso significa expressar cada coordenada x = 2 cos t0 - 2 sen t0 cdot s , y = sen t0 + cos t0 cdot s e z = t0 + s em função do parâmetro :

Resposta

As equações vetorial e paramétricas da reta tangente à hélice são:
Equação Vetorial:
Equações Paramétricas:
r(s) = (2 cos t0, sen t0, t0) + s cdot (-2 sen t0, cos t0, 1)
Onde x = 2 cos t0 - 2 sen t0 cdot s é o parâmetro correspondente ao ponto na hélice onde a reta tangente está sendo considerada, e y = sen t0 + cos t0 cdot s é o parâmetro da reta tangente.

Exercícios relacionados