Determine e esboce o dominio da função. Se for possível determine a imagem da função.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: (1) determinar e esboçar o domínio da função; (2) se possível, determinar a imagem (conjunto de valores que
assume).
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- a função é uma razão de duas raízes quadradas;
- o numerador é
; - o denominador é
.
Passo 2
Entender as restrições impostas pela expressão (regrinhas importantes):
- Para que
esteja bem definida como número real é preciso que o radicando seja não negativo: Aqui é permitido porque a raiz de é e isso não causa problema no numerador. - Para que
seja real precisamos de Mas, além disso, esse termo aparece no denominador; não podemos dividir por zero. Logo exigimos estritamente
Passo 3
Concluir o domínio combinando as duas condições acima. Podemos tomar
e
independentemente dentro dos intervalos encontrados, portanto o domínio é o produto cartesiano
ou, em notação de intervalos,
Interpretação geométrica para esboçar: é a faixa (retângulo) no plano
limitada verticalmente por
e
(essas bordas estão incluídas) e horizontalmente por
e
(essas bordas estão excluídas). Os quatro cantos
não pertencem ao domínio porque
é proibido.
Passo 4
Agora vamos analisar a imagem: primeiro analisamos separadamente numerador e denominador.
- Defina
. Como , o radicando varia de até , logo Atinge em e atinge em . - Defina
. Como , o radicando varia em , portanto Atinge em e toma valores arbitrariamente pequenos positivos quando se aproxima de .
Passo 5
Relação entre
e
: a função é
com
e
. Vamos ver quais valores reais
podemos obter como
.
-
Valor
: pode ser obtido porque é possível (escolher ) enquanto permanece positivo (escolher qualquer com ). Portanto . -
Valores grandes (tendendo a
): como pode ser arbitrariamente pequeno e positivo (tomando muito próximo de ), se então pode ficar arbitrariamente grande. Assim é não limitada superiormente. -
Para verificar que todo
é realmente obtido (ou seja, que não há “buracos” nos positivos), fazemos um argumento construtivo: - Se
, escolha (então ). Defina . Como temos e , logo existe com (por exemplo ). Então com essa escolha . - Se
, escolha (então ). Defina . Como temos , logo existe com (por exemplo ). Com isso . - Assim qualquer
é atingido por alguma escolha de no domínio, e também é atingido (caso ).
- Se
Portanto todos os números reais
são valores da função.
Passo 6
Conclusão sobre a imagem: combinando os itens acima, a imagem (conjunto de valores de
) é o intervalo
Observações intuitivas finais:
é obtido quando o numerador é zero; valores próximos de zero também são obtidos fazendo o numerador pequeno (
) e denominador não muito pequeno; valores arbitrariamente grandes ocorrem quando o denominador fica muito pequeno (
) enquanto o numerador é positivo.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: