Determine e esboce o dominio da função. Se for possível determine a imagem da função.
f(x, y)=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{\sqrt{9-y^{2}}}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{\sqrt{9-y^{2}}}
e pede: (1) determinar e esboçar o domínio da função; (2) se possível, determinar a imagem (conjunto de valores que f assume).
Informações dadas que vamos usar:
  • a função é uma razão de duas raízes quadradas;
  • o numerador é \sqrt{4-x^{2}};
  • o denominador é \sqrt{9-y^{2}}.

Passo 2

Entender as restrições impostas pela expressão (regrinhas importantes):
  • Para que \sqrt{4-x^{2}} esteja bem definida como número real é preciso que o radicando seja não negativo: 4-x^{2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\le 4 \quad\Longrightarrow\quad -2\le x\le 2.Aqui é permitido 4-x^{2}=0 porque a raiz de 0 é 0 e isso não causa problema no numerador.
  • Para que \sqrt{9-y^{2}} seja real precisamos de 9-y^{2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -3\le y\le 3.Mas, além disso, esse termo aparece no denominador; não podemos dividir por zero. Logo exigimos estritamente 9-y^{2}>0 \quad\Longrightarrow\quad -3<y<3.

Passo 3

Concluir o domínio combinando as duas condições acima. Podemos tomar x e y independentemente dentro dos intervalos encontrados, portanto o domínio é o produto cartesiano
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -2\le x\le 2,\\\ -3<y<3\}
ou, em notação de intervalos,
D=[-2,2]\times(-3,3).
Interpretação geométrica para esboçar: é a faixa (retângulo) no plano xy limitada verticalmente por x=-2 e x=2 (essas bordas estão incluídas) e horizontalmente por y=-3 e y=3 (essas bordas estão excluídas). Os quatro cantos (\pm2,\pm3) não pertencem ao domínio porque y=\pm3 é proibido.

Passo 4

Agora vamos analisar a imagem: primeiro analisamos separadamente numerador e denominador.
  • Defina u(x)=\sqrt{4-x^{2}}. Como x\in[-2,2], o radicando varia de 0 até 4, logo u(x)\in[0,2].Atinge 2 em x=0 e atinge 0 em x=\pm2.
  • Defina v(y)=\sqrt{9-y^{2}}. Como y\in(-3,3), o radicando varia em (0,9], portanto v(y)\in(0,3].Atinge 3 em y=0 e toma valores arbitrariamente pequenos positivos quando y se aproxima de \pm3.

Passo 5

Relação entre u e v: a função é f(x,y)=\dfrac{u(x)}{v(y)} com u\in[0,2] e v\in(0,3]. Vamos ver quais valores reais w\ge 0 podemos obter como w=\dfrac{u}{v}.
  • Valor 0: pode ser obtido porque u=0 é possível (escolher x=\pm2) enquanto v(y) permanece positivo (escolher qualquer y com |y|<3). Portanto 0\in\operatorname{Im}(f).
  • Valores grandes (tendendo a +\infty): como v(y) pode ser arbitrariamente pequeno e positivo (tomando y muito próximo de \pm3), se u>0 então \dfrac{u}{v} pode ficar arbitrariamente grande. Assim f é não limitada superiormente.
  • Para verificar que todo w>0 é realmente obtido (ou seja, que não há “buracos” nos positivos), fazemos um argumento construtivo:
    • Se w\ge \tfrac{2}{3}, escolha x=0 (então u=2). Defina v=\dfrac{2}{w}. Como w\ge \tfrac{2}{3} temos v=\dfrac{2}{w}\le 3 e v>0, logo existe y com v=\sqrt{9-y^{2}} (por exemplo y=\pm\sqrt{9-v^{2}}). Então com essa escolha f=\dfrac{2}{v}=w.
    • Se 0<w<\tfrac{2}{3}, escolha y=0 (então v=3). Defina u=3w. Como 3w<2 temos u\in(0,2), logo existe x com u=\sqrt{4-x^{2}} (por exemplo x=\pm\sqrt{4-u^{2}}). Com isso f=\dfrac{u}{3}=w.
    • Assim qualquer w>0 é atingido por alguma escolha de (x,y) no domínio, e w=0 também é atingido (caso x=\pm2).
Portanto todos os números reais w\ge 0 são valores da função.

Passo 6

Conclusão sobre a imagem: combinando os itens acima, a imagem (conjunto de valores de f) é o intervalo
\operatorname{Im}(f)=[0,\infty).
Observações intuitivas finais: 0 é obtido quando o numerador é zero; valores próximos de zero também são obtidos fazendo o numerador pequeno ( x\approx\pm2) e denominador não muito pequeno; valores arbitrariamente grandes ocorrem quando o denominador fica muito pequeno ( y\to\pm3) enquanto o numerador é positivo.

Resposta

Domínio: [ -2,2]\times(-3,3)
Imagem: [0,\infty)